【正文】 點(diǎn)F1到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，a2=b2+c2=1+3=4∴所求橢圓方程為（2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線與l交于點(diǎn)P，作AM⊥，AN⊥，垂足分別為M、N. 由橢圓第二定義，得同理|BF2|=e|BN|由Rt△PAM～Rt△PBN，得…9分的斜率.∴直線l的方程【例7】 已知點(diǎn)B（－1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.（3）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率kk2滿足k1k2=：直線DE過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).解：（1）設(shè)【例8】 已知曲線，直線l過(guò)A（a，0）、B（0，－b）兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到l的距離是（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，若，求直線m的方程.解：（Ⅰ）依題意， 由原點(diǎn)O到l的距離為，得 又 故所求雙曲線方程為 （Ⅱ）顯然直線m不與x軸垂直，設(shè)m方程為y=kx－1，則點(diǎn)M、N坐標(biāo)（）、（）是方程組 的解消去y，得 ①依設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系，知 == = ∴=－23，k=177。當(dāng)k=177。時(shí)，方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根故直線l方程為 【例9】 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）若已知，、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由已知可得： ， ∴ ∴ 所求的橢圓方程為 . (2)方法一： 由題知點(diǎn)D、M、N共線，設(shè)為直線m，當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線m的方程為 y = k x +3 代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①由判別式 ，得. 再設(shè)M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，則一方面有，得 另一方面有 ， ② 將代入②式并消去 x 2可得，由前面知， ∴ ，解得 . 又當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證：,所以 為所求。方法二:同上得 設(shè)點(diǎn)M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ,2sinβ) 則有由上式消去α并整理得, 由于 ∴ ， 解得為所求. 方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)D的距離的最大值為5，最小值為1.進(jìn)而推得的取值范圍為?！厩髨A錐曲線的方程練習(xí)】一、選擇題1．已知直線x+2y－3=0與圓x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥OQ，則m等于( ) B.－3 D.－12．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，177。5)的橢圓被直線3x－y－2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )二、填空題3．直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若過(guò)點(diǎn)P且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為_(kāi)________.4．已知圓過(guò)點(diǎn)P(4，－2)、Q(－1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，則該圓的方程為_(kāi)________.三、解答題5．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6．某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng).7．已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=,橢圓C2的方程為=1(a＞b＞0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案一、：將直線方程變?yōu)閤=3－2y,代入圓的方程x2+y2+x－6y+m=0,得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0.整理得5y2－20y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4.又∵P、Q在直線x=3－2y上，∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3.答案：A：由題意，可設(shè)橢圓方程為： =1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線3x－y－2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、：所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，|PF1|+|PF2|最小，利用對(duì)稱性可解.答案： =1：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2則有 由此可寫所求圓的方程.答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0三、：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,∴b2=4,設(shè)橢圓方程為 ①設(shè)過(guò)M1和M2的直線方程為y=－x+m ②將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點(diǎn)為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=－x0+m=.代入y=x,得,由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.：以拱頂為原點(diǎn)，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(－10，－4）、(10，－4）設(shè)拋物線方程為x2=－2py,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=－2p(－4),解得p=,于是拋物線方程為x2=－25y.由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)，E′點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=－,從而|EE′|=(－)－(－4)=.：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化簡(jiǎn)得=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=,得，解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能.，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得mn= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例2】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1x2=m2,∴|MN|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào).故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.【例3】 已知雙曲線C：2x2－y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=177。時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)(ⅱ)當(dāng)2－k2≠0,即k≠177。時(shí)Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①當(dāng)Δ=0,即3－2k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠177。,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).③當(dāng)Δ＜0，即k＞時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=177。,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k＞時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為177。,結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(－4，0)、F2(4，0)，過(guò)點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b===1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0==4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.①②得 ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9=0(x1≠x2)將 (k≠0)代入上式，得94+25y0(－)=0(k≠0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為y－y0=－(x－4)(k≠0) ③將③代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－259k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).【例5】 已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線段上，又滿足．（1）求雙曲線的漸近線的方程；（2）求雙曲線的方程；（3）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸．如果中垂直于的平行