第八章直線回歸與相關-文庫吧
2025-07-17 13:24 本頁面
【正文】 與實際觀測值 y的偏差平方和最小 ，即： 0)(2 ??????? ? bxayaQ? ??????? 0)(2 xbxaybQy? 根據(jù)微積分學中的求極值的方法，令 Q對 a、b的一階偏導數(shù)等于 0，即： ?????? ?? 22 )()?( bxayyyQ 最 小 整理得關于 a、 b的 正規(guī)方程組 ： ?? ?? yxban??? ?? xyxbxa 2下一張 主 頁 退 出 上一張 解正規(guī)方程組，得： xxySSSPxxyyxxnxxnyxxyb ???????? ??? ?? ?? 222)())((/)(/))(( （ 83） xbya ??（ 84） （ 83）式中的分子是自變量 x的離均差 與 依 變 量 y 的 離 均 差 的 乘 積和 ，簡 稱 乘積和 ，記作 ，分母是自變量 x的離均差 平方和 ，記作 SSX。 a叫做樣本 回歸截距 ，是回歸直線與 y軸交點的縱坐標，當 x=0時， =a； ))((? ?? yyxxxySP? ? 2)( xxy? b叫做樣本 回歸系數(shù) ，表 示 x 改 變一個單位， y平均改變的數(shù)量； b 的符號反映了 x影響 y的性質(zhì)， b的絕對值大小反映了 x 影響 y 的 程度 。 y? 的估計值。 叫做 回歸估計值 ，是當 x在在其研 究 范 圍 內(nèi) 取某一個值時， y值平均數(shù) x?? ? 回歸方程的基本性質(zhì)： 如果將（ 84）式代入（ 82）式，得到回歸方程的另一種形式 (中心化形式 )： 下一張 主 頁 退 出 上一張 ??? ? 2)?( yyQ性質(zhì) 1 最??； 0)?( ??? yy性質(zhì) 2 ； ),( yx性質(zhì) 3 回 歸 直 線 通 過 點 。 )(? xxbybxxbyy ?????? （ 85） 【 例 】 在四川白鵝的生產(chǎn)性能研究中，得到如下一組關于雛鵝重（ g）與 70日齡重 (g)的數(shù)據(jù)，試建立 70日齡重 (y)與雛鵝重 (x)的直線回歸方程。 表 81 四川白鵝雛鵝重與 70日齡重測定結(jié)果 （單位： g） 下一張 主 頁 退 出 上一張 作散點圖 以雛鵝重（ x）為橫坐標， 70日齡重（ y）為縱坐標作散點圖，見 圖 83。 計算回歸截距 a，回歸系數(shù) b，建立直線回歸方程 首先根據(jù)實際觀測值計算出 下 列數(shù)據(jù)： ??? ? nxx8 3 3 7 2 012/3 2 6 5 0/ ??? ? nyy? ? ? ? ?????? ? nxxSS x 6 5 8 512 3 2 6 5 011823 2 5 2 6 1 0))(( ?????? ??? n yxxySP xy? ? ? ? 3 1 4 9 112/3 2 6 5 08 9 6 6 6 7 0 0/ 222 ?????? ? nyySS y下一張 主 頁 退 出 上一張 進而計算出 b、 a： 7 1 2 6 8 53 6 5 8 5 ???xxySSSPb ?????? xbyaxy 7 1 2 8 1 8 2? ?? 得到四川白鵝的 70日齡重 y對雛鵝重 x的 直線回歸方程為： 根據(jù)直線回歸方程可作出回歸直線，見圖83。從圖 83看出，并不是所有的散點都恰好落在回歸直線上，這說明 用 去估計 y是有偏差的。 y?下一張 主 頁 退 出 上一張 直線回歸的偏離度估計 偏差平方和 的大小表示了實測點與回歸直線偏離的程度，因而偏差平方和又稱為 離回歸平方和 。統(tǒng)計學已經(jīng)證明：在直線回歸分析中離回歸平方和的自由度為 n2。于是可求得 離回歸均方 為： 離回歸均方是模型（ 81）中 σ2的估計值。 離回歸均方的平方根叫 離回歸標準誤 ，記為 ，即 2)?(? ? yy)2/()?( 2 ??? nyyyxS （ 86） 離回歸標準誤 Syx的大小表示了回歸直線與實測點偏差的程度 ，即回歸估測值 與 實 際觀測值 y偏差的程度，于是我們 把離回歸標準誤 Syx用來表示回歸方程的偏離度。 ? ??? )2/()?( 2 nyyS yxy?下一張 主 頁 退 出 上一張 以后我們將證明： （ 87） 利用（ 87）式先計算出 ，然后再代入（ 86）式求 Syx 。 xxyy SSSPSSyy /)?( 22 ????2)?(? ? yy 7 1 5 21685/3 6 5 8 58 3 1 4 9 1 6 7/)?( 222 ??????? xxyy SSSPSSyy對于 【 例 】 有 ）（ gnyyS yx )212/()2/()?( 2 ?????? ?所以 二、直線回歸的顯著性檢驗 若 x和 y變量間并不存在直線關系， 但由 n對觀測值（ xi， yi）也可以根據(jù)上面介紹的方法求得一個回歸方程 =
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