三角形的格點-文庫吧
2025-07-10 00:01 本頁面
【正文】 ＝ＢＣ．連ＤＰ、ＤＣ．由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，可知點Ｄ與點Ｃ關(guān)于ＢＰ對稱．有ＰＤ＝ＰＣ．由∠ＤＰＣ＝２（∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ）＝６０176。，可知△ＰＣＤ為正三角形．有ＰＣ＝ＤＣ．在△ＡＣＤ中，由∠ＡＤＣ＝７０176。＝∠ＤＡＣ，可知ＡＣ＝ＤＣ．有ＡＣ＝ＰＣ．在△ＰＣＡ中，由∠ＰＣＡ＝２０176。，可知∠ＰＡＣ＝８０176。．則∠ＰＡＢ＝３０176。．這里由ＢＰ平分∠ＡＢＣ，想到在ＢＡ延長線上取一點Ｄ，使ＢＤ＝ＢＣ，則點Ｄ為點Ｃ關(guān)于ＢＰ的對稱點．這是取對稱點的最簡單、最基本的方法．例４ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０176。，∠ＡＣＢ＝３０176。，Ｑ為形內(nèi)一點，∠ＱＢＡ＝∠ＱＣＡ＝２０176。．求∠ＱＡＢ的度數(shù)．解：如圖４，設(shè)ＢＱ交ＡＣ于Ｄ，過點Ｄ作ＢＣ的垂線交ＱＣ于Ｅ．連ＢＥ．圖 ４由∠ＱＢＣ＝３０176。＝∠ＡＣＢ，可知ＤＥ為ＢＣ的中垂線．由∠ＱＣＢ＝１０176。，可知∠ＥＢＣ＝１０176。，∠ＱＢＥ＝２０176。＝∠ＱＢＡ．由∠ＥＤＢ＝６０176。＝∠ＥＤＣ，可知∠ＢＤＡ＝６０176。＝∠ＢＤＥ．有點Ａ與點Ｅ關(guān)于ＢＤ對稱．則∠ＱＡＢ＝∠ＱＥＢ ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝２０176。．這里注意到ＢＱ是∠ＡＱＣ的平分線，故想到在ＱＣ上取點Ｅ，使∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＱ，則點Ｅ為點Ａ關(guān)于ＢＱ的對稱點．為此想到滿足條件的點Ｅ，恰為ＢＣ中垂線與ＱＣ的交點。又由∠ＱＢＣ＝３０176。＝∠ＡＣＢ，想到ＢＱ與ＡＣ的交點Ｄ應(yīng)為ＢＣ中垂線上的另一點．于是，我們選擇了如上的方法找到點Ａ關(guān)于ＢＱ的對稱點Ｅ．例５在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０176。，∠ＡＣＢ＝３０176。,Ｑ為形內(nèi)一點，∠ＱＣＡ＝∠ＱＡＢ＝20176。．求∠ＱＢＣ的度數(shù)．解：如圖５，設(shè)ＢＣ的中垂線分別交ＢＡ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ，Ｆ為垂足．連ＱＥ、ＢＥ、ＤＣ．圖 ５由∠ＡＣＤ＝２０176。＝∠ＡＣＱ，∠ＤＡＣ＝８０176。＝∠ＱＡＣ，可知點Ｄ與點Ｑ關(guān)于ＡＣ對稱．有∠ＡＥＱ＝∠ＡＥＤ＝∠ＦＥＣ＝６０176。．由∠ＢＥＦ＝∠ＦＥＣ＝６０176。，可知∠ＡＥＢ＝６０176。＝∠ＡＥＱ．有Ｂ、Ｑ、Ｅ三點共線．則∠ＱＢＣ＝∠ＥＢＣ＝３０176。．這里注意到ＡＣ是△ＡＱＢ的∠ＱＡＢ的外角平分線（這一點并不引人注目），在ＢＡ延長線上取一點Ｄ，使ＤＡ＝ＱＡ，則點Ｄ為點Ｑ關(guān)于ＡＣ的對稱點．為此我們通過ＢＣ的中垂線，把∠ＡＢＣ“翻折”到∠ＤＣＢ的位置，是非常恰當?shù)模?在△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝50176。，Ｏ為形內(nèi)一點，∠ＯＡＢ＝１０176。,∠ＯＢＣ＝20176。．求∠ＯＣＡ的度數(shù)．解：如圖６，過點Ｃ作ＡＢ的垂線交ＢＯ延長線于Ｅ．連ＡＥ．圖 ６由∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ
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