第2講向量的數(shù)量積-文庫吧
2025-06-14 17:25 本頁面
【正文】 4）（文）已知點A（－1，－5）和向量a=（2，3），若=3a，則點B的坐標為____________.解析：設B點坐標為（xB，yB），則=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），∴∴∴B（5，4）.答案：（5，4）●典例剖析【例1】 判斷下列各命題正確與否：（1）若a≠0，ab=ac，則b=c；（2）若ab=ac，則b≠c當且僅當a=0時成立；（3）（ab）c=a（bc）對任意向量a、b、c都成立；（4）對任一向量a，有a2=|a|2.剖析：（1）（2）可由數(shù)量積的定義判斷.（3）通過計算判斷.（4）把a2轉(zhuǎn)化成aa=|a|2可判斷.解：（1）ab=ac，∴|a||b|cosα=|a||c|cosβ（其中α、β分別為a與b，a與c的夾角）.∵|a|≠0，∴|b|cosα=|c|cosβ.∵cosα與cosβ不一定相等，∴|b|與|c|不一定相等.∴b與c也不一定相等.∴（1）不正確.（2）若ab=ac，則|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β為a與b，a與c的夾角）.∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0.∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.當b≠c時，|b|cosα與|c|cosβ可能相等.∴（2）不正確.（3）（ab）c=（|a||b|cosα）c，a（bc）=a|b||c|cosθ（其中α、θ分別為a與b，b與c的夾角）.（ab）c是與c共線的向量，a（bc）是與a共線的向量.∴（3）不正確.（4）正確.評述：判斷上述問題的關(guān)鍵是要掌握向量的數(shù)量積的含義，向量的數(shù)量積的運算律不同于實數(shù)乘法的運算律.【例2】 平面內(nèi)有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），點X為直線OP上的一個動點.（1）當取最小值時，求的坐標；（2）當點X滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cos∠AXB的值.剖析：因為點X在直線OP上，向量與共線，可以得到關(guān)于坐標的一個關(guān)系式，再根據(jù)的最小值，求得的坐標，而cos∠AXB是與夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識易解決.解：（1）設=（x，y），∵點X在直線OP上，∴向量與共線.又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y.∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），∴=（1－2y，7－y）.同樣=－=（5－2y，1－y）.于是=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）=5y2－20y+12=5（y－2）2－8.∴當y=2時，有最小值－8，此時=（4，2）.（2）當=（4，2），即y=2時，有=（－3，5），=（1，－1）.∴||
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