【正文】 限制的難以置信的性質(zhì)，盡管它在理論工作中普遍使用，并且，盡管它有數(shù)學(xué)上的便利性，多元正太分布無疑是值得懷疑的，尤其可能是在考慮普通證券時。因此，要注意到通過使用切比雪夫不等式，羅伊表明，投資者遵循他的“安全第一”原則進(jìn)行投資（即進(jìn)行高風(fēng)險投資以使結(jié)果降至一個預(yù)先設(shè)定的“災(zāi)難等級”的可能性的上限最小化）應(yīng)該使得投資組合的超額預(yù)期收益和投資組合的收益標(biāo)準(zhǔn)方差的比率最大化——這正是我們的標(biāo)準(zhǔn)下的最大。，當(dāng)他的災(zāi)害等級等同于無風(fēng)險利率r*。當(dāng)然，這個結(jié)果不依賴于多元正態(tài)分布，并且使用了效用函數(shù)的不同觀點和形式。分離定理以及其文中的推論（I）和（II），和所有其他以下的分析依賴于θ的最大化——因此是嚴(yán)格的適當(dāng)?shù)姆嵌嘣植记闆r。以相同的概率判斷為基礎(chǔ)，這些“安全第—”的人會使用相同的近似標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)（最大θ），并且選擇和迄今為止我們已經(jīng)考慮的“效用最大化者”比例相同的風(fēng)險資產(chǎn)投資組合。II——投資組合選擇：最優(yōu)證券組合在尋找最優(yōu)證券組合——使(3b)中的θ最大化的組合之前，有必要表示出就包括在投資組合中的個別證券的收益而言的任意組合的收益。雖然賣空被大多數(shù)關(guān)于投資組合優(yōu)化的著作排除在外，但是這一限制性假設(shè)至少是目的性的，因此，我們在本文中拓寬了分析，把賣空包含進(jìn)來。在允許賣空情況下的證券組合的收益估計我們假設(shè)市場上有m種不同的證券，用i = 1，2，……，m表示，把賣空看做消極的購買。我們將使用以下的基本符號：——在。證券中的總投資（買入或賣出的數(shù)量的市場價值）占在所有證券中的總投資的比例。的正值表明購買，而負(fù)值表示賣空?！獙⒁幻涝顿Y于購買。證券的收益（現(xiàn)金股利再加上價格升值）?！缟纤f，投資于一特定組合或投資組合中的每一美元的收益?，F(xiàn)在我們考慮在整個組合中的總投資，那么在證券中的實際投資等于購買和賣空的收益需要被分別考慮。首先，我們看到，如果被投資于購買證券，那么收益將會是，為了更加清晰直接地表達(dá)，我們寫出如下形式：現(xiàn)在假設(shè)被投資于賣空，總投資為獲得股票的價格。（這一獲得的價格必須存入第三方保管）此外，相當(dāng)于當(dāng)期股票賣出價格的要求保證金數(shù)額的資金必須匯款或者貸款給借款機(jī)構(gòu)的實際擁有者。在計算賣空收益時我們知道賣空方必須支付紅利給借給他股票的人，當(dāng)股票賣出時紅利會積累，他的資本收益（或損失）是這段時期價格升值的負(fù)值。此外，賣空者將獲得第三方保存價格在無風(fēng)險利率r*水平下的利息，他可能還會獲得在同樣利率水平下，他給股票借出方的現(xiàn)金匯款的利息。為了分析簡便，我們假定賣空者總能獲得這兩種利息，保證金要求是100%。在這種情況下，賣空者的總投資中每一美元的收益率將是，如果他投資了在賣空，它對他的投資組合收益的貢獻(xiàn)將是：由于等式（4a）和（4b）的右邊是一樣的，投資于任何證券組合的每一美元的總收益可以寫為：由的定義得到因此，任何證券組合收益的期望和方差為其中代表當(dāng)i=j時的方差以及當(dāng)時的協(xié)方差。定義如下表達(dá)式并作適當(dāng)替換后等式的右邊可以進(jìn)一步簡化：因此，（3b）中的θ值可以寫成： 因為可能為正可能為負(fù)，方程（6a）表明，如果有一個或多個股票的不等于，那么就存在滿足，于是不等于的投資組合。在本文的其余部分我們都假設(shè)這樣的投資組合存在。最優(yōu)證券投資組合的確定 分離定理表明，最優(yōu)股票投資組合是使得（8）中的θ最大的那種組合。當(dāng)然，我們希望在服從如下約束條件的情況下使該值最大化。這是由。的定義得出的。但是我們從（8）中注意到θ是關(guān)于的零階齊次函數(shù)，任何θ的倍數(shù)改變都不會改變值。于是，我們的問題簡化為，找到一個不滿足約束條件的使（8）中的θ值最大的一組向量，接著，我們可以通過改變初始解的倍數(shù)來找到滿足約束條件的一組解。允許賣空情況下的最優(yōu)投資組合首先，我們研究（8）中對的偏導(dǎo)數(shù)，發(fā)現(xiàn)：其中， 必要和充分條件的相對值是為固定和獨特的最大值準(zhǔn)備，通過設(shè)置衍生物等于零。可以得到下面的等式：我們也可以這樣表達(dá)：值得注意的是，等式（12）（與托賓定理相同，只不過用另外一種途徑衍生出來）與自方差、合并的協(xié)方差和各自資產(chǎn)的額外匯報是線性的。并且由于協(xié)方差矩陣是正向確定的，因此也是非異常的，這個等式的體系有一種獨特的解決方式：代表中的，協(xié)方差矩陣的逆矩陣。運(yùn)用（13）（7）和（6b）,這種方法也可以寫成在表格中問題的相關(guān)主要變量。此外，公式（13）也蘊(yùn)含了：也許很容易就被估算出來，是在介紹約束公式（9）之后：最佳相關(guān)資本可以被衡量到股份證券投資組合的最佳比例，通過分割每一個，通過它們絕對價值的總和。等式（16）和（11）的比較更深入地展示了：也就是說，領(lǐng)域的絕對價值的總和，作為一種副產(chǎn)品，預(yù)期額外比率的回報率的價值的比率，在最優(yōu)的證券投資組合方面，是這種最好的組合的方差的回報。我們也可以很有趣地發(fā)現(xiàn)，如果我們組成了預(yù)期額外回報的相關(guān)的比率，為了每一個股份的方差，我們也可以得到最佳效果：最好的證券投資組合中，每一部分組成的最佳部分，是與比率相等的，與整個證券投資組合比起來，比合并的協(xié)方差以及其他資產(chǎn)要少。結(jié)果，如果投資者想要在一種假設(shè)上行動，這種假設(shè)是，所有的協(xié)方差是零，就可以非常簡單地運(yùn)用最優(yōu)證券投資組合，通過決定預(yù)期額外回報的比率，每個股份對于方差來說，并且設(shè)定每一個；因為沒有協(xié)方差的話，運(yùn)用這個簡化的假設(shè)，每股的比率對于決定簡單算法的最優(yōu)組合的足夠的；在更多通常的有非零方差的例子中，一種單獨設(shè)置的線性等式必須是用普通的方法解決的，但是不需要任何規(guī)劃，在“有效前沿”需求上的點也是不超過一個的，在我們所作假設(shè)的情況下。當(dāng)短期銷售是不允許的時候，最優(yōu)證券投資組合短期銷售的排外并不使上述分析復(fù)雜，如果投資者愿意在這種假設(shè)上行動，在不同股權(quán)?；貓笾g沒有相關(guān)性。在這種情況下，他可以發(fā)現(xiàn)他最優(yōu)的證券投資組合僅僅是在消除所有的比率是負(fù)面的資產(chǎn)，投資于在比例中留存的與前面段落相一致的東西。但是在更普遍真實的情況下，當(dāng)協(xié)方差是非零的并且短期銷售不被承認(rèn)，單一雙線性或者二次方程式問題的解決方案是被需要去決定最優(yōu)證券投資組合的。（所有其他的在“有效前沿”上的點，當(dāng)然繼續(xù)不相關(guān)，只要這兒有一個無風(fēng)險資產(chǎn)和一個“完美”的借方市場。）最優(yōu)證券投資組合現(xiàn)在是通過設(shè)置給出的，最大化了（8）式中的，并且也服從于所有的約束。之前，之和是聯(lián)合的也許會被忽視，尤其在為設(shè)定的相關(guān)價值量的初始的解決方案中。為了找到最佳方案，我們形成了下面的等式：可以被最大化并且服從于和，運(yùn)用，我們立刻可以得到在之前的案例中，我們也肯定會得到作為的最大值（而不是最小值），我們應(yīng)該寫成和。向量的充分必要條件，最大化了（20）中的是必然結(jié)果，運(yùn)用下面的定理也符合上述等式可以通過一些定理迅速地得到解決。下面讓我們表示（22b）中的，并且重新計數(shù)整套股權(quán)，這樣共計滿足這個嚴(yán)格不等式是被表示出來的，我們可以運(yùn)用約束條件（19），因此最優(yōu)證券投資組合的投資部分是：再一次地，運(yùn)用（17a）和，這片區(qū)域內(nèi)的股權(quán)設(shè)置的之和作為副產(chǎn)品，在最優(yōu)證券投資組合上的預(yù)期額外比率回報率的比率，是這種最優(yōu)組合方差回報率：此外，既然嚴(yán)格顯示了。我們可以運(yùn)用這些等式去找出資產(chǎn)組合的相關(guān)重要的財產(chǎn)，被風(fēng)險厭惡投資者在完美市場中得以運(yùn)用。風(fēng)險收益 和其他股權(quán)財產(chǎn)在長期或短期內(nèi)的最優(yōu)證券投資組合既然在大部分的股權(quán)中的協(xié)方差是正面的，從等式（19）中可以明顯地看到，證券投資組合的長期會是這些預(yù)期回報比無風(fēng)險比率高，也就是說，他們方差的貢獻(xiàn)和合并的協(xié)方差是整個證券投資組合中的最大風(fēng)險，這是標(biāo)準(zhǔn)的教義。在證券投資組合中的長期積極協(xié)方差與其他資產(chǎn)，引發(fā)了的最小等級，并且會導(dǎo)致，在最優(yōu)證券投資組合中，股權(quán)是作為一種積極持有物包含在內(nèi)的。但是等式（19）展示了期待回報率的股權(quán)比無風(fēng)險比率要小，同時從長期來看，他們與一定程度的其他重要的股權(quán)是負(fù)相關(guān)的，從長期證券投資組合來看，或者像（b）中所說的一樣，他們在一定程度的其他重要的股權(quán)是正相關(guān)的，從長期證券投資組合來看。當(dāng)時，對于精確的條件就是，協(xié)方差的權(quán)重總和是不被滿足的從（19）式中我們可以看出 在文獻(xiàn)中，被精確地稱為“風(fēng)險溢價”，我們也展示了風(fēng)險資產(chǎn)中的“風(fēng)險溢價”，讓它們在長期中通過在完美的市場中最優(yōu)化風(fēng)險厭惡投資者，并不總是需要正相關(guān)的，就像通常所推測的。事實上，它們在上述（a）或（b）中其中一項是負(fù)相關(guān)的，就如（19a）中總結(jié)的。解釋是，當(dāng)然，與其他長期股份負(fù)相關(guān)的資產(chǎn)傾向于減少整個證券投資組合的方差，通過抵消在證券投資組合中由其余資產(chǎn)導(dǎo)致的方差，并且這種“方差抵消”效應(yīng)也許會主導(dǎo)證券的自方差，甚至?xí)褂幸粋€負(fù)相關(guān)的預(yù)期額外收益。在證券投資組合中短期的與其他證券的正相關(guān)關(guān)系有一個相似的方差抵消效應(yīng)。相應(yīng)地，從（19）可以很明顯地看到，任意有正相關(guān)額外回報或風(fēng)險溢價的股權(quán)會在證券投資組合中當(dāng)作短期來持有，假定（a）在長期證券投資組合中，與其他股權(quán)在足夠多的程度上正相關(guān)，或者（b）在短期證券投資組合中在足夠多的程度上與其他股權(quán)負(fù)相關(guān)。正（負(fù)）風(fēng)險溢價對于持有股權(quán)來說，不是充分條件也不是必要條件。無關(guān)概要等式（12）也可以讓我們檢查證券的預(yù)期額外回報，方差，或者標(biāo)準(zhǔn)誤差和協(xié)方差之間的無關(guān)概要，這些會導(dǎo)致在某一給定證券中投資者的證券投資組合的相同部分。文獻(xiàn)中的大體假設(shè)，就像我們介紹中所說的，風(fēng)險資產(chǎn)的市場價值在完美市場中是被設(shè)置為，在于其回報率和風(fēng)險中去設(shè)置一個線性相關(guān)關(guān)系，就像通過標(biāo)準(zhǔn)誤差所衡量的，在問題中證券商的回報。這種假設(shè)也許會從一種事實中