【正文】 極間的電勢差（2） 當 ，R1 ＝ mm，R2 ＝ mm 時，6 －18　一片二氧化鈦晶片， cm2 ， mm．把平行平板電容器的兩極板緊貼在晶片兩側(cè).（1） 求電容器的電容；（2） 當在電容器的兩極間加上12 V電壓時，極板上的電荷為多少？ 此時自由電荷和極化電荷的面密度各為多少？ （3） 求電容器內(nèi)的電場強度．解　（1） 查表可知二氧化鈦的相對電容率εr ＝173，故充滿此介質(zhì)的平板電容器的電容（2） 電容器加上U ＝12 V 的電壓時，極板上的電荷極板上自由電荷面密度為晶片表面極化電荷密度（3） 晶片內(nèi)的電場強度為6 －19　如圖所示，半徑R ＝ m 的導體球帶有電荷Q ＝ 10－８C，導體外有兩層均勻介質(zhì)，一層介質(zhì)的εr＝，厚度d ＝ m，另一層介質(zhì)為空氣，充滿其余空間．求：（1） 離球心為r ＝5cm、15 cm、25 cm 處的D 和E；（2） 離球心為r ＝5 cm、15 cm、25 cm 處的V；（3） 極化電荷面密度σ′．分析　帶電球上的自由電荷均勻分布在導體球表面，電介質(zhì)的極化電荷也均勻分布在介質(zhì)的球形界面上，因而介質(zhì)中的電場是球?qū)ΨQ分布的．任取同心球面為高斯面，電位移矢量D 的通量與自由電荷分布有關(guān)，因此，在高斯面上D 呈均勻?qū)ΨQ分布，由高斯定理可得D（r）．再由可得E（r）．介質(zhì)內(nèi)電勢的分布，可由電勢和電場強度的積分關(guān)系求得，或者由電勢疊加原理求得．極化電荷分布在均勻介質(zhì)的表面，其極化電荷面密度．解?。?） 取半徑為r 的同心球面為高斯面，由高斯定理得r ＜R　　　　　 　 ；R ＜r ＜R ＋d ；r ＞R ＋d ；將不同的r 值代入上述關(guān)系式，可得r ＝5 cm、15 cm 和25 cm 時的電位移和電場強度的大小，其方向均沿徑向朝外．r1 ＝5 cm，該點在導體球內(nèi)，則；r2 ＝15 cm，該點在介質(zhì)層內(nèi)，εｒ ＝，則；r3 ＝25 cm，該點在空氣層內(nèi)，空氣中ε≈ε0 ，則；（2） 取無窮遠處電勢為零，由電勢與電場強度的積分關(guān)系得r3 ＝25 cm，　r2 ＝15 cm，　r1 ＝5 cm，?。?） 均勻介質(zhì)的極化電荷分布在介質(zhì)界面上，因空氣的電容率ε ＝ε0 ，極化電荷可忽略．故在介質(zhì)外表面；在介質(zhì)內(nèi)表面：介質(zhì)球殼內(nèi)、外表面的極化電荷面密度雖然不同，但是兩表面極化電荷的總量還是等量異號．6 －20　人體的某些細胞壁兩側(cè)帶有等量的異號電荷。 10－9 m，兩表面所帶面電荷密度為177。 10 －3 C／m2 ，內(nèi)表面為正電荷．，求（1） 細胞壁內(nèi)的電場強度；（2） 細胞壁兩表面間的電勢差．解　（1）細胞壁內(nèi)的電場強度；方向指向細胞外．（2） 細胞壁兩表面間的電勢差．6 －21 一平板電容器，充電后極板上電荷面密度為σ0 ＝105 C m2．現(xiàn)將兩極板與電源斷開，然后再把相對電容率為εｒ ＝ 的電介質(zhì)插入兩極板之間．此時電介質(zhì)中的D、E 和P 各為多少？分析　平板電容器極板上自由電荷均勻分布，電場強度和電位移矢量都是常矢量．充電后斷開電源，在介質(zhì)插入前后，導體板上自由電荷保持不變．取圖所示的圓柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可求得電位移矢量D，再根據(jù)，可求得電場強度E 和電極化強度矢量P．解　由分析可知，介質(zhì)中的電位移矢量的大小介質(zhì)中的電場強度和極化強度的大小分別為D、P、E方向相同，均由正極板指向負極板（圖中垂直向下）．6 －22　在一半徑為R1 的長直導線外，套有氯丁橡膠絕緣護套，護套外半徑為R2 ，相對電容率為εｒ ．設沿軸線單位長度上，導線的電荷密度為λ．試求介質(zhì)層內(nèi)的D、E 和P．分析　將長直帶電導線視作無限長，自由電荷均勻分布在導線表面．在絕緣介質(zhì)層的內(nèi)、外表面分別出現(xiàn)極化電荷，這些電荷在內(nèi)外表面呈均勻分布，所以電場是軸對稱分布．取同軸柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得電位移矢量D 的分布．在介質(zhì)中，可進一步求得電場強度E 和電極化強度矢量P 的分布．解　由介質(zhì)中的高斯定理，有得在均勻各向同性介質(zhì)中6 －23　如圖所示，球形電極浮在相對電容率為εr ＝ ， ＝ 10－6 、下部分各有多少電荷？分析　由于導體球一半浸在油中，電荷在導體球上已不再是均勻分布，電場分布不再呈球?qū)ΨQ，因此，不能簡單地由高斯定理求電場和電荷的分布．我們可以將導體球理解為兩個分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立電容器，靜電平衡時導體球上的電荷分布使導體成為等勢體，故可將導體球等效為兩個半球電容并聯(lián)，其相對無限遠處的電勢均為V，且 （1）另外導體球上的電荷總量保持不變，應有 （2）因而可解得Q1 、Q2 ．解　將導體球看作兩個分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立電容器，上半球在空氣中，電容為下半球在油中，電容為由分析中式（1）和式（2）可解得由于導體球周圍部分區(qū)域充滿介質(zhì)，球上電荷均勻分布的狀態(tài)將改變．可以證明，此時介質(zhì)中的電場強度與真空中的電場強度也不再滿足的關(guān)系．事實上，只有當電介質(zhì)均勻充滿整個電場，并且自由電荷分布不變時，才滿足 ．6 －24　 的薄金屬板A、B 構(gòu)成的空氣平板電容器被屏蔽在一金屬盒Ｋ 內(nèi)，金屬盒上、下兩壁與A、B mm，金屬板面積為30 mm 40 mm。求（1） 被屏蔽后電容器的電容變?yōu)樵瓉淼膸妆?；?） 若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，問此時的電容又為原來的幾倍？分析　薄金屬板A、B 與金屬盒一起構(gòu)成三個電容器，其等效電路圖如圖（ｂ）所示，由于兩導體間距離較小，電容器可視為平板電容器，通過分析等效電路圖可以求得A、B 間的電容。解?。?） 由等效電路圖可知由于電容器可以視作平板電容器，且，故 ，因此A、B 間的總電容（2） 若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，相當于C2 （或者C3 ）極板短接，其電容為零，則總電容6 －25　在A 點和B 點之間有5 個電容器，其連接如圖所示．（1） 求A、B 兩點之間的等效電容；（2） 若A、B 之間的電勢差為12 V，求UAC 、UCD 和UDB ．解?。?） 由電容器的串、并聯(lián)，有求得等效電容CAB ＝4 μF．（2） 由于，得6 －26　有一個空氣平板電容器，極板面積為S，間距為d．現(xiàn)將該電容器接在端電壓為U 的電源上充電，當（1） 充足電后；（2） 然后平行插入一塊面積相同、厚度為δ（δ ＜d）、相對電容率為εｒ 的電介質(zhì)板；（3） 將上述電介質(zhì)換為同樣大小的導體板．分別求電容器的電容C，極板上的電荷Q 和極板間的電場強度E．分析　電源對電容器充電，電容器極板間的電勢差等于電源端電壓U．插入電介質(zhì)后，由于介質(zhì)界面出現(xiàn)極化電荷，極化電荷在介質(zhì)中激發(fā)的電場與原電容器極板上自由電荷激發(fā)的電場方向相反，介質(zhì)內(nèi)的電場減弱．由于極板間的距離d 不變，因而與電源相接的導體極板將會從電源獲得電荷，以維持電勢差不變，并有相類似的原因，在平板電容器極板之間，若平行地插入一塊導體板，由于極板上的自由電荷和插入導體板上的感應電荷在導體板內(nèi)激發(fā)的電場相互抵消，與電源相接的導體極板將會從電源獲得電荷，使間隙中的電場E 增強，以維持兩極板間的電勢差不變，并有綜上所述，接上電源的平板電容器，插入介質(zhì)或?qū)w后，極板上的自由電荷均會增加，而電勢差保持不變．解　（1） 空氣平板電容器的電容充電后，極板上的電荷和極板間的電場強度為（2） 插入電介質(zhì)后，電容器的電容C1 為故有介質(zhì)內(nèi)電場強度　　空氣中電場強度　　?。?） 插入導體達到靜電平衡后，導體為等勢體，其電容和極板上的電荷分別為導體中電場強度 空氣中電場強度無論是插入介質(zhì)還是插入導體，由于電容器的導體極板與電源相連，在維持電勢差不變的同時都從電源獲得了電荷，自由電荷分布的變化同樣使得介質(zhì)內(nèi)的電場強度不再等于E0/εｒ．6 －27　為了實時檢測紡織品、紙張等材料的厚度（待測材料可視作相對電容率為εｒ 的電介質(zhì)），通常在生產(chǎn)流水線上設置如圖所示的傳感裝置，其中A，B為平板電容器的導體極板，d0 為兩極板間的距離．試說明檢測原理，并推出直接測量量電容C 與間接測量量厚度d 之間的函數(shù)關(guān)系．如果要檢測鋼板等金屬材料的厚度，結(jié)果又將如何？分析　導體極板A、B 和待測物體構(gòu)成一有介質(zhì)的平板電容器，關(guān)于電容C與材料的厚度的關(guān)系，可參見題6 －26 的分析．解　由分析可知，該裝置的電容為則介質(zhì)的厚度為如果待測材料是金屬導體，其等效電容為導體材料的厚度實時地測量A、B 間的電容量C，根據(jù)上述關(guān)系式就可以間接地測出材料的厚度．通常智能化的儀表可以實時地顯示出待測材料的厚度．6 －28　利用電容傳感器測量油料液面高度．其原理如圖所示，導體圓管A與儲油罐B 相連，圓管的內(nèi)徑為D，管中心同軸插入一根外徑為d 的導體棒C，d、D 均遠小于管長L 并且相互絕緣．試證明：當導體圓管與導體棒之間接以電壓為U 的電源時，圓管上的電荷與液面高度成正比（油料的相對電容率為εｒ ）．分析　由于d、D ＜＜L，導體A、C 構(gòu)成圓柱形電容器，可視為一個長X（X 為液面高度）的介質(zhì)電容器C1 和一個長L －X 的空氣電容器C2 的并聯(lián)，它們的電容值均隨X 而改變．因此其等效電容C ＝C1 ＋C2 也是X 的函數(shù)．由于Q ＝CU，在電壓一定時，電荷Q 僅隨C 而變化，求出Q 與液面高度X 的函數(shù)關(guān)系，即可得證證　由分析知，導體A、C 構(gòu)成一組柱形電容器，它們的電容分別為其總電容其中；即導體管上所帶電荷Q 與液面高度X 成正比，油罐與電容器聯(lián)通．兩液面等高，測出電荷Q 即可確定油罐的液面高度．6 －29 　 μF 的平行平板電容器， mm的聚四氟乙烯薄膜所隔開，（1） 求該電容器的額定電壓；（2） 求電容器存貯的最大能量．分析　通過查表可知聚四氟乙烯的擊穿電場強度Eb ＝ 107 V／m，電容器中的電場強度E≤Eb ，由此可以求得電容器的最大電勢差和電容器存貯的最大能量．解?。?） 電容器兩極板間的電勢差（2） 電容器存貯的最大能量6 －30　 cm 的長直導線， cm 的共軸導體圓筒，導線與圓筒間為空氣．略去邊緣效應，求：（1） 導線表面最大電荷面密度；（2） 沿軸線單位長度的最大電場能量．分析　如果設長直導線上單位長度所帶電荷為λ，導線表面附近的電場強度查表可以得知空氣的擊穿電場強度Eb ＝ 106（V／m），只有當空氣中的電場強度E≤Eb 空氣才不會被擊穿，由于在導線表面附近電場強度最大，因而可以求出σ的極限值．再求得電場能量密度，并通過同軸圓柱形體元內(nèi)電場能量的積分求得單位長度的最大電場強度．解?。?） 導線表面最大電荷面密度顯然導線表面最大電荷面密度與導線半徑無關(guān)．（2） 由上述分析得，此時導線與圓筒之間各點的電場強度為 (其他)沿軸線單位長度的最大電場能量6 －31　一空氣平板電容器， cm，兩極間電壓為40 kV，該電容器會被擊穿嗎？ cm 的玻璃板插入此電容器，并與兩極平行，擊穿電場強度為10 ＭV m－1 ．則此時電容器會被擊穿嗎？分析　在未插入玻璃板時，不難求出空氣中的電場強度小于空氣的擊穿電場強度，電容器不會被擊穿．插入玻璃后，由習題6 －26 可知，若電容器與電源相連，則極板間的電勢差維持不變，電容器將會從電源獲取電荷．此時空氣間隙中的電場強度將會增大．若它大于空氣的擊穿電場強度，則電容器的空氣層將首先被擊穿．此時40 kV 電壓全部加在玻璃板兩側(cè)，玻璃內(nèi)的電場強度如也大于玻璃擊穿電場強度的值，則玻璃也將被擊穿．整個電容器被擊穿．解　未插入玻璃時，電容器內(nèi)的電場強度為因空氣的擊穿電場強度 ，故電容器不會被擊穿．插入玻璃后，由習題6 －26 可知，空氣間隙中的電場強度此時，因 ，空氣層被擊穿，擊穿后40 kV 電壓全部加在玻璃板兩側(cè)，此時玻璃板內(nèi)的電場強度由于玻璃的擊穿電場強度， ，故玻璃也將相繼被擊穿，電容器完全被擊穿．6 －32　某介質(zhì)的相對電容率，擊穿電場強度為 ，如果用它來作平板電容器的電介質(zhì)， μF，它的極板面積至少要多大．解　介質(zhì)內(nèi)電場強度電容耐壓Um ＝ kV，因而電容器極板間最小距離 μF 的平板電容器，其極板面積顯然，這么大的面積平鋪開來所占據(jù)的空間太大了，通常將平板電容器卷疊成筒狀后再封裝．6 －33　一平行板空氣電容器，極板面積為S，極板間距為d，充電至帶電Q后與電源斷開，然后用外力緩緩地把兩極板間距拉開到2d．求：（1） 電容器能量的改變；（2） 此過程中外力所作的功，并討論此過程中的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系．分析　在將電容器兩極板拉開的過程中，由于導體極板上的電荷保持不變，極板間的電場強度亦不變，但電場所占有的空間增大，系統(tǒng)總的電場能量增加了．根據(jù)功能原理，所增加的能量應該等于拉開過程中外力克服兩極板間的靜電引力所作的功．解　（1） 極板間的電場為均勻場，且電場強度保持不變，因此，電場的能量密度為在外力作用下極板間距從d 被拉開到2d，電場占有空間的體積，也由V 增加到2V，此時電場能量增加（2） 兩導體極板帶等量異號電荷，外力F 將其緩緩拉開時，應有F＝－Fe ，則外力所作的功為外力克服靜電引力所作的功等于靜電場能量的增加．第七章　恒定磁場7 －1　兩根長度相同的細導線分別多層密繞在半徑為R 和r 的兩個長直圓筒上形成兩個螺線管，兩個螺線管的長度相同，R ＝2r，螺線管通過的電流相同為I，螺線管中的磁感強度大小BR 、Br滿足（　?。ˋ） ?。˙） 　（C） ?。―）分