【正文】 在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，閉合回路中的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流與磁通量變化的快慢有關(guān)，而在一段時間內(nèi)，通過導體截面的感應(yīng)電量只與磁通量變化的大小有關(guān)，與磁通量變化的快慢無關(guān)．工程中常通過感應(yīng)電量的測定來確定磁場的強弱．解　在線圈轉(zhuǎn)過90176。角時，通過線圈平面磁通量的變化量為因此，流過導體截面的電量為則 8 －9　如圖所示，一長直導線中通有I ＝ A 的電流， cm處， cm2 ，10 匝的小圓線圈，線圈中的磁場可看作是均勻的． 10－2 s cm 處．求：（1） 線圈中平均感應(yīng)電動勢；（2） 10－2Ω，求通過線圈橫截面的感應(yīng)電荷．分析　雖然線圈處于非均勻磁場中，但由于線圈的面積很小，可近似認為穿過線圈平面的磁場是均勻的，因而可近似用來計算線圈在始、末兩個位置的磁鏈．解?。?） 在始、末狀態(tài)，通過線圈的磁鏈分別為,則線圈中的平均感應(yīng)電動勢為電動勢的指向為順時針方向．（2） 通過線圈導線橫截面的感應(yīng)電荷為8 －10　如圖（ａ）所示，把一半徑為R 的半圓形導線OP 置于磁感強度為B的均勻磁場中，當導線以速率v 水平向右平動時，求導線中感應(yīng)電動勢E 的大小，哪一端電勢較高？分析　本題及后面幾題中的電動勢均為動生電動勢，除仍可由求解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個閉合回路），還可直接用公式求解．在用后一種方法求解時，應(yīng)注意導體上任一導線元ｄl ，上述各量可能是ｄl 所在位置的函數(shù)．矢量（v B）的方向就是導線中電勢升高的方向．解1　如圖（ｂ）所示，假想半圓形導線OP 在寬為2R 的靜止形導軌上滑動，兩者之間形成一個閉合回路．設(shè)順時針方向為回路正向，任一時刻端點O 或端點P 距 形導軌左側(cè)距離為x，則即由于靜止的 形導軌上的電動勢為零，則E ＝－2RvB．式中負號表示電動勢的方向為逆時針，對OP 段來說端點P 的電勢較高．解2　建立如圖（c）所示的坐標系，在導體上任意處取導體元ｄl，則由矢量（v B）的指向可知，端點P 的電勢較高．解3　連接OP 使導線構(gòu)成一個閉合回路．由于磁場是均勻的，在任意時刻，E ＝0又因 E ＝EOP ＋EPO即 EOP ＝－EPO ＝2RvB由上述結(jié)果可知，在均勻磁場中，任意閉合導體回路平動所產(chǎn)生的動生電動勢為零；而任意曲線形導體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導體上的動生電動勢．上述求解方法是疊加思想的逆運用，即補償?shù)姆椒ǎ? －11　長為L的銅棒，以距端點r 處為支點，求棒兩端的電勢差．分析　應(yīng)該注意棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢是兩個不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動勢的不同．在開路時，兩者大小相等，方向相反（電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）．本題可直接用積分法求解棒上的電動勢，亦可以將整個棒的電動勢看作是OA 棒與OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．而EO A 和EO B 則可以直接利用第８ －2 節(jié)例1 給出的結(jié)果．解1　如圖（ａ）所示，在棒上距點O 為l 處取導體元ｄl，則因此棒兩端的電勢差為當L ＞2r 時，端點A 處的電勢較高解2　將AB 棒上的電動勢看作是OA 棒和OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．其中,則8 －12　如圖所示，長為L 的導體棒OP，處于均勻磁場中，并繞OO′軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為θ，磁感強度B 與轉(zhuǎn)軸平行．求OP 棒在圖示位置處的電動勢．分析　如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律 計算（此時必須構(gòu)造一個包含OP導體在內(nèi)的閉合回路， 如直角三角形導體回路OPQO），也可用來計算．由于對稱性，導體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時產(chǎn)生的電動勢與圖示位置是相同的．解1　由上分析，得由矢量的方向可知端點P 的電勢較高．解2　設(shè)想導體OP 為直角三角形導體回路OPQO 中的一部分，任一時刻穿過回路的磁通量Φ為零，則回路的總電動勢顯然，EQO ＝0，所以由上可知，導體棒OP 旋轉(zhuǎn)時，在單位時間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導體棒QP 等效．后者是垂直切割的情況．8 －13　如圖（ａ）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長直導線移動，此導線通有電流I ＝40A．求桿中的感應(yīng)電動勢，桿的哪一端電勢較高？分析　本題可用兩種方法求解．（1） 用公式求解，建立圖（a）所示的坐標系，所取導體元，該處的磁感強度．（2） 用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，需構(gòu)造一個包含桿AB 在內(nèi)的閉合回路．為此可設(shè)想桿AB在一個靜止的形導軌上滑動，如圖（ｂ）所示．設(shè)時刻t，桿AB 距導軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動勢，亦即本題桿中的電動勢．解1　根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動勢為式中負號表示電動勢方向由B 指向A，故點A 電勢較高．解2　設(shè)順時針方向為回路ABCD 的正向，根據(jù)分析，在距直導線x 處，取寬為ｄx、長為y 的面元ｄS，則穿過面元的磁通量為穿過回路的磁通量為回路的電動勢為由于靜止的形導軌上電動勢為零，所以式中負號說明回路電動勢方向為逆時針，對AB 導體來說，電動勢方向應(yīng)由B 指向A，故點A 電勢較高．8 －14　如圖（ａ）所示，在“無限長”直載流導線的近旁，放置一個矩形導體線框，該線框在垂直于導線方向上以勻速率v 向右移動，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動勢的大小和方向．分析　本題亦可用兩種方法求解．其中應(yīng)注意下列兩點：1．當閉合導體線框在磁場中運動時，線框中的總電動勢就等于框上各段導體中的動生電動勢的代數(shù)和．如圖（ａ）所示，導體eh 段和fg 段上的電動勢為零［此兩段導體上處處滿足］，因而線框中的總電動勢為其等效電路如圖（ｂ）所示．2．用公式求解，式中Φ是線框運動至任意位置處時，穿過線框的磁通量．為此設(shè)時刻t 時，線框左邊距導線的距離為ξ，如圖（c）所示，顯然ξ是時間t 的函數(shù)，且有．在求得線框在任意位置處的電動勢E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得線框在題目所給位置處的電動勢．解1　根據(jù)分析，線框中的電動勢為由Eef ＞Ehg 可知，線框中的電動勢方向為efgh．解2　設(shè)順時針方向為線框回路的正向．根據(jù)分析，在任意位置處，穿過線框的磁通量為相應(yīng)電動勢為令ξ＝d，得線框在圖示位置處的電動勢為由E ＞0 可知，線框中電動勢方向為順時針方向．　*8 －15　有一長為l，寬為b 的矩形導線框架，其質(zhì)量為m，電阻為R．在t ＝0時，框架從距水平面y ＝0 的上方h 處由靜止自由下落，如圖所示．磁場的分布為：在y ＝0 的水平面上方?jīng)]有磁場；在y ＝0 的水平面下方有磁感強度為B 的均勻磁場，B 的方向垂直紙面向里．已知框架在時刻t1 和t2 的位置如圖中所示．求在下述時間內(nèi)，框架的速度與時間的關(guān)系：（1） t1 ≥t ＞0，即框架進入磁場前；（2） t2 ≥t≥t1 ，即框架進入磁場， 但尚未全部進入磁場；（3）t ＞t2 ，即框架全部進入磁場后．分析　設(shè)線框剛進入磁場（t1 時刻）和全部進入磁場（t2 時刻）的瞬間，其速度分別為v10 和v20 ．在情況（1）和（3）中，線框中無感應(yīng)電流，線框僅在重力作用下作落體運動，其速度與時間的關(guān)系分別為v＝gt（t ＜t1）和v ＝v20 ＋g（t－t2 ）（t ＞t2 ）．而在t1＜t＜t2這段時間內(nèi)，線框運動較為復雜，由于穿過線框回路的磁通量變化，使得回路中有感應(yīng)電流存在，從而使線框除受重力外，還受到一個向上的安培力FA ，其大小與速度有關(guān)，即．根據(jù)牛頓運動定律，此時線框的運動微分方程為，解此微分方程可得t1＜t＜t2 時間內(nèi)線框的速度與時間的關(guān)系式．解?。?） 根據(jù)分析，在時間內(nèi)，線框為自由落體運動，于是其中時，（2） 線框進入磁場后，受到向上的安培力為根據(jù)牛頓運動定律，可得線框運動的微分方程令，整理上式并分離變量積分，有積分后將代入，可得（3） 線框全部進入磁場后（t ＞t2），作初速為v20 的落體運動，故有8 －16　有一磁感強度為B 的均勻磁場，以恒定的變化率在變化．把一塊質(zhì)量為m 的銅，拉成截面半徑為r的導線，并用它做成一個半徑為R 的圓形回路．圓形回路的平面與磁感強度B 垂直．試證：這回路中的感應(yīng)電流為式中ρ 為銅的電阻率，d 為銅的密度．解　圓形回路導線長為，導線截面積為，其電阻R′為在均勻磁場中，穿過該回路的磁通量為，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得回路中的感應(yīng)電流為而，即，代入上式可得8 －17　半徑為R ＝ cm 的無限長直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零．若通電電流均勻變化，使得磁感強度B 隨時間的變化率為常量，且為正值，試求：（1） 管內(nèi)外由磁場變化激發(fā)的感生電場分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r ＝5．0 cm處感生電場的大小和方向．分析　變化磁場可以在空間激發(fā)感生電場，感生電場的空間分布與場源———變化的磁場（包括磁場的空間分布以及磁場的變化率 等）密切相關(guān)，求解感生電場的分布是困難的．但對于本題這種特殊情況，則可以利用場的對稱性進行求解．可以設(shè)想，無限長直螺線管內(nèi)磁場具有柱對稱性，其橫截面的磁場分布如圖所示．由其激發(fā)的感生電場也一定有相應(yīng)的對稱性，考慮到感生電場的電場線為閉合曲線，因而本題中感生電場的電場線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓．同一圓周上各點的電場強度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向．圖中虛線表示r ＜R和r ＞R 兩個區(qū)域的電場線．電場線繞向取決于磁場的變化情況，由楞次定律可知，當時，電場線繞向與B 方向滿足右螺旋關(guān)系；當 時，電場線繞向與前者相反．解　如圖所示，分別在r ＜R 和r ＞R 的兩個區(qū)域內(nèi)任取一電場線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設(shè)順時針方向為回路正向．（1） r ＜R，　r ＞R，　 由于，故電場線的繞向為逆時針．（2） 由于r ＞R，所求點在螺線管外，因此將r、R、的數(shù)值代入，可得，式中負號表示Ek的方向是逆時針的．8 －18　在半徑為R 的圓柱形空間中存在著均勻磁場，B 的方向與柱的軸線平行．如圖（ａ）所示，有一長為l 的金屬棒放在磁場中，設(shè)B 隨時間的變化率為常量．試證：棒上感應(yīng)電動勢的大小為分析　變化磁場在其周圍激發(fā)感生電場，把導體置于感生電場中，導體中的自由電子就會在電場力的作用下移動，在棒內(nèi)兩端形成正負電荷的積累，從而產(chǎn)生感生電動勢．由于本題的感生電場分布與上題所述情況完全相同，故可利用上題結(jié)果，由計算棒上感生電動勢．此外，還可連接OP、OQ，設(shè)想PQOP 構(gòu)成一個閉合導體回路，用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，由于OP、OQ 沿半徑方向，與通過該處的感生電場強度Ek 處處垂直，故，OP、OQ 兩段均無電動勢，這樣，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出的閉合回路的總電動勢，就是導體棒PQ 上的電動勢．證1　由法拉第電磁感應(yīng)定律，有證2　由題８ －17可知，在r ＜R 區(qū)域，感生電場強度的大小設(shè)PQ 上線元ｄx 處，Ek的方向如圖（b）所示，則金屬桿PQ 上的電動勢為討論　假如金屬棒PQ 有一段在圓外，則圓外一段導體上有無電動勢？ 該如何求解？8 －19　截面積為長方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（ａ）所示，共有N 匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L．分析　如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關(guān)的量．求自感L 的方法有兩種：1．設(shè)有電流I 通過線圈，計算磁場穿過自身回路的總磁通量，再用公式計算L．2．讓回路中通以變化率已知的電流，測出回路中的感應(yīng)電動勢EL ，由公式計算L．式中EL 和都較容易通過實驗測定，所以此方法一般適合于工程中．此外，還可通過計算能量的方法求解．解　用方法1 求解，設(shè)有電流I 通過線圈，線圈回路呈長方形，如圖（ｂ）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范圍內(nèi)的磁場分布為由于線圈由N 匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過自身回路的磁鏈為則若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對磁導率為μr ，則自感將增大μr倍．8 －20　如圖所示，螺線管的管心是兩個套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1 和S2 ，磁導率分別為μ1 和μ2 ，管長為l，匝數(shù)為N，求螺線管的自感．（設(shè)管的截面很小）分析　本題求解時應(yīng)注意磁介質(zhì)的存在對磁場的影響．在無介質(zhì)時，通電螺線管內(nèi)的磁場是均勻的，磁感強度為B0 ，由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強度分別為μ1 B0 和μ2 B0 ．通過線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為S1 和S2 的兩部分磁通量之和．由自感的定義可解得結(jié)果．解　設(shè)有電流I 通過螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強度分別為,通過N 匝回路的磁鏈為則自感8 －21　有兩根半徑均為a 的平行長直導線，它們中心距離為d．試求長為l的一對導線的自感（導線內(nèi)部的磁通量可略去不計）．分析　兩平行長直導線可以看成無限長但寬為d 的矩形回路的一部分．設(shè)在矩形回路中通有逆時針方向電流I，然后計算圖中陰影部分（寬為d、長為l）的磁通量．該區(qū)域內(nèi)磁場可以看成兩無限長直載流導線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場的疊加．解　在如圖所示的坐標中，當兩導線中通有圖示的電流I 時，兩平行導線間的磁感強度為穿過圖中陰影部分的磁通量為則長為l 的一對導線的自感為如導線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對導線的自感為．L1 稱為外自感，即本題已求出的L，L2 稱為一根導線的內(nèi)自感．長為l的導線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解．8 －22　如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線圈AB 和A′B′，每個線圈的自感均為L，求：（1） A 和A′相接時，B 和B′間的自感L1 ；（2） A′和B 相接時，A 和B′間的自感L2 ．分析　無論線圈A