【正文】 器接在端電壓為U 的電源上充電，當(dāng)（1） 充足電后；（2） 然后平行插入一塊面積相同、厚度為δ（δ ＜d）、相對(duì)電容率為εｒ 的電介質(zhì)板；（3） 將上述電介質(zhì)換為同樣大小的導(dǎo)體板．分別求電容器的電容C，極板上的電荷Q 和極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E．分析　電源對(duì)電容器充電，電容器極板間的電勢(shì)差等于電源端電壓U．插入電介質(zhì)后，由于介質(zhì)界面出現(xiàn)極化電荷，極化電荷在介質(zhì)中激發(fā)的電場(chǎng)與原電容器極板上自由電荷激發(fā)的電場(chǎng)方向相反，介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)減弱．由于極板間的距離d 不變，因而與電源相接的導(dǎo)體極板將會(huì)從電源獲得電荷，以維持電勢(shì)差不變，并有相類似的原因，在平板電容器極板之間，若平行地插入一塊導(dǎo)體板，由于極板上的自由電荷和插入導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷在導(dǎo)體板內(nèi)激發(fā)的電場(chǎng)相互抵消，與電源相接的導(dǎo)體極板將會(huì)從電源獲得電荷，使間隙中的電場(chǎng)E 增強(qiáng)，以維持兩極板間的電勢(shì)差不變，并有綜上所述，接上電源的平板電容器，插入介質(zhì)或?qū)w后，極板上的自由電荷均會(huì)增加，而電勢(shì)差保持不變．解?。?） 空氣平板電容器的電容充電后，極板上的電荷和極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為（2） 插入電介質(zhì)后，電容器的電容C1 為故有介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度　　空氣中電場(chǎng)強(qiáng)度　　?。?） 插入導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡后，導(dǎo)體為等勢(shì)體，其電容和極板上的電荷分別為導(dǎo)體中電場(chǎng)強(qiáng)度 空氣中電場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)論是插入介質(zhì)還是插入導(dǎo)體，由于電容器的導(dǎo)體極板與電源相連，在維持電勢(shì)差不變的同時(shí)都從電源獲得了電荷，自由電荷分布的變化同樣使得介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度不再等于E0/εｒ．6 －27　為了實(shí)時(shí)檢測(cè)紡織品、紙張等材料的厚度（待測(cè)材料可視作相對(duì)電容率為εｒ 的電介質(zhì)），通常在生產(chǎn)流水線上設(shè)置如圖所示的傳感裝置，其中A，B為平板電容器的導(dǎo)體極板，d0 為兩極板間的距離．試說(shuō)明檢測(cè)原理，并推出直接測(cè)量量電容C 與間接測(cè)量量厚度d 之間的函數(shù)關(guān)系．如果要檢測(cè)鋼板等金屬材料的厚度，結(jié)果又將如何？分析　導(dǎo)體極板A、B 和待測(cè)物體構(gòu)成一有介質(zhì)的平板電容器，關(guān)于電容C與材料的厚度的關(guān)系，可參見(jiàn)題6 －26 的分析．解　由分析可知，該裝置的電容為則介質(zhì)的厚度為如果待測(cè)材料是金屬導(dǎo)體，其等效電容為導(dǎo)體材料的厚度實(shí)時(shí)地測(cè)量A、B 間的電容量C，根據(jù)上述關(guān)系式就可以間接地測(cè)出材料的厚度．通常智能化的儀表可以實(shí)時(shí)地顯示出待測(cè)材料的厚度．6 －28　利用電容傳感器測(cè)量油料液面高度．其原理如圖所示，導(dǎo)體圓管A與儲(chǔ)油罐B 相連，圓管的內(nèi)徑為D，管中心同軸插入一根外徑為d 的導(dǎo)體棒C，d、D 均遠(yuǎn)小于管長(zhǎng)L 并且相互絕緣．試證明：當(dāng)導(dǎo)體圓管與導(dǎo)體棒之間接以電壓為U 的電源時(shí)，圓管上的電荷與液面高度成正比（油料的相對(duì)電容率為εｒ ）．分析　由于d、D ＜＜L，導(dǎo)體A、C 構(gòu)成圓柱形電容器，可視為一個(gè)長(zhǎng)X（X 為液面高度）的介質(zhì)電容器C1 和一個(gè)長(zhǎng)L －X 的空氣電容器C2 的并聯(lián)，它們的電容值均隨X 而改變．因此其等效電容C ＝C1 ＋C2 也是X 的函數(shù)．由于Q ＝CU，在電壓一定時(shí)，電荷Q 僅隨C 而變化，求出Q 與液面高度X 的函數(shù)關(guān)系，即可得證證　由分析知，導(dǎo)體A、C 構(gòu)成一組柱形電容器，它們的電容分別為其總電容其中；即導(dǎo)體管上所帶電荷Q 與液面高度X 成正比，油罐與電容器聯(lián)通．兩液面等高，測(cè)出電荷Q 即可確定油罐的液面高度．6 －29 　 μF 的平行平板電容器， mm的聚四氟乙烯薄膜所隔開(kāi)，（1） 求該電容器的額定電壓；（2） 求電容器存貯的最大能量．分析　通過(guò)查表可知聚四氟乙烯的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度Eb ＝ 107 V／m，電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度E≤Eb ，由此可以求得電容器的最大電勢(shì)差和電容器存貯的最大能量．解?。?） 電容器兩極板間的電勢(shì)差（2） 電容器存貯的最大能量6 －30　 cm 的長(zhǎng)直導(dǎo)線， cm 的共軸導(dǎo)體圓筒，導(dǎo)線與圓筒間為空氣．略去邊緣效應(yīng)，求：（1） 導(dǎo)線表面最大電荷面密度；（2） 沿軸線單位長(zhǎng)度的最大電場(chǎng)能量．分析　如果設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線上單位長(zhǎng)度所帶電荷為λ，導(dǎo)線表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度查表可以得知空氣的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度Eb ＝ 106（V／m），只有當(dāng)空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度E≤Eb 空氣才不會(huì)被擊穿，由于在導(dǎo)線表面附近電場(chǎng)強(qiáng)度最大，因而可以求出σ的極限值．再求得電場(chǎng)能量密度，并通過(guò)同軸圓柱形體元內(nèi)電場(chǎng)能量的積分求得單位長(zhǎng)度的最大電場(chǎng)強(qiáng)度．解?。?） 導(dǎo)線表面最大電荷面密度顯然導(dǎo)線表面最大電荷面密度與導(dǎo)線半徑無(wú)關(guān)．（2） 由上述分析得，此時(shí)導(dǎo)線與圓筒之間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 (其他)沿軸線單位長(zhǎng)度的最大電場(chǎng)能量6 －31　一空氣平板電容器， cm，兩極間電壓為40 kV，該電容器會(huì)被擊穿嗎？ cm 的玻璃板插入此電容器，并與兩極平行，擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為10 ＭV m2．現(xiàn)將兩極板與電源斷開(kāi)，然后再把相對(duì)電容率為εｒ ＝ 的電介質(zhì)插入兩極板之間．此時(shí)電介質(zhì)中的D、E 和P 各為多少？分析　平板電容器極板上自由電荷均勻分布，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量都是常矢量．充電后斷開(kāi)電源，在介質(zhì)插入前后，導(dǎo)體板上自由電荷保持不變．取圖所示的圓柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可求得電位移矢量D，再根據(jù)，可求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 和電極化強(qiáng)度矢量P．解　由分析可知，介質(zhì)中的電位移矢量的大小介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和極化強(qiáng)度的大小分別為D、P、E方向相同，均由正極板指向負(fù)極板（圖中垂直向下）．6 －22　在一半徑為R1 的長(zhǎng)直導(dǎo)線外，套有氯丁橡膠絕緣護(hù)套，護(hù)套外半徑為R2 ，相對(duì)電容率為εｒ ．設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上，導(dǎo)線的電荷密度為λ．試求介質(zhì)層內(nèi)的D、E 和P．分析　將長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線視作無(wú)限長(zhǎng)，自由電荷均勻分布在導(dǎo)線表面．在絕緣介質(zhì)層的內(nèi)、外表面分別出現(xiàn)極化電荷，這些電荷在內(nèi)外表面呈均勻分布，所以電場(chǎng)是軸對(duì)稱分布．取同軸柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得電位移矢量D 的分布．在介質(zhì)中，可進(jìn)一步求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 和電極化強(qiáng)度矢量P 的分布．解　由介質(zhì)中的高斯定理，有得在均勻各向同性介質(zhì)中6 －23　如圖所示，球形電極浮在相對(duì)電容率為εr ＝ ， ＝ 10－6 、下部分各有多少電荷？分析　由于導(dǎo)體球一半浸在油中，電荷在導(dǎo)體球上已不再是均勻分布，電場(chǎng)分布不再呈球?qū)ΨQ，因此，不能簡(jiǎn)單地由高斯定理求電場(chǎng)和電荷的分布．我們可以將導(dǎo)體球理解為兩個(gè)分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立電容器，靜電平衡時(shí)導(dǎo)體球上的電荷分布使導(dǎo)體成為等勢(shì)體，故可將導(dǎo)體球等效為兩個(gè)半球電容并聯(lián)，其相對(duì)無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)均為V，且 （1）另外導(dǎo)體球上的電荷總量保持不變，應(yīng)有 （2）因而可解得Q1 、Q2 ．解　將導(dǎo)體球看作兩個(gè)分別懸浮在油和空氣中的半球形孤立電容器，上半球在空氣中，電容為下半球在油中，電容為由分析中式（1）和式（2）可解得由于導(dǎo)體球周圍部分區(qū)域充滿介質(zhì)，球上電荷均勻分布的狀態(tài)將改變．可以證明，此時(shí)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度與真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度也不再滿足的關(guān)系．事實(shí)上，只有當(dāng)電介質(zhì)均勻充滿整個(gè)電場(chǎng)，并且自由電荷分布不變時(shí)，才滿足 ．6 －24　 的薄金屬板A、B 構(gòu)成的空氣平板電容器被屏蔽在一金屬盒Ｋ 內(nèi)，金屬盒上、下兩壁與A、B mm，金屬板面積為30 mm 40 mm。 10－9 m，兩表面所帶面電荷密度為177。 pF，試問(wèn)按鍵需要按下多大的距離才能給出必要的信號(hào)？分析　按下按鍵時(shí)兩金屬片之間的距離變小，電容增大，由電容的變化量可以求得按鍵按下的最小距離：解　按下按鍵時(shí)電容的變化量為按鍵按下的最小距離為6 －17　蓋革－米勒管可用來(lái)測(cè)量電離輻射．該管的基本結(jié)構(gòu)如圖所示，一半徑為R1 的長(zhǎng)直導(dǎo)線作為一個(gè)電極，半徑為R2 的同軸圓柱筒為另一個(gè)電極．它們之間充以相對(duì)電容率εｒ ≈1 的氣體．當(dāng)電離粒子通過(guò)氣體時(shí)，能使其電離．若兩極間有電勢(shì)差時(shí)，極間有電流，從而可測(cè)出電離粒子的數(shù)量．如以E1 表示半徑為R1 的長(zhǎng)直導(dǎo)線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度．（1） 求兩極間電勢(shì)差的關(guān)系式；（2） 若E1 ＝ 106 V當(dāng)按下按鍵時(shí)電容發(fā)生變化，通過(guò)與之相連的電子線路向計(jì)算機(jī)發(fā)出該鍵相應(yīng)的代碼信號(hào)。點(diǎn)電荷qd 與導(dǎo)體球A 外表面感應(yīng)電荷在球形空腔內(nèi)激發(fā)的電場(chǎng)為零，點(diǎn)電荷qb 、qc處于球形空腔的中心，空腔內(nèi)表面感應(yīng)電荷均勻分布，點(diǎn)電荷qb 、qc受到的作用力為零.6 －7　一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個(gè)半徑R１ ＝10－4m 的圓柱形陰極和一個(gè)套在陰極外，半徑R２ ＝10－3m 的同軸圓筒形陽(yáng)極．陽(yáng)極電勢(shì)比陰極電勢(shì)高300V，陰極與陽(yáng)極的長(zhǎng)度均為L(zhǎng) ＝10－２m．假設(shè)電子從陰極射出時(shí)的速度為零．求：（１） 該電子到達(dá)陽(yáng)極時(shí)所具有的動(dòng)能和速率；（２）電子剛從陽(yáng)極射出時(shí)所受的力．分析?。?） 由于半徑R１＜＜L，因此可將電極視作無(wú)限長(zhǎng)圓柱面，陰極和陽(yáng)極之間的電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性．從陰極射出的電子在電場(chǎng)力作用下從靜止開(kāi)始加速，電子所獲得的動(dòng)能等于電場(chǎng)力所作的功，也即等于電子勢(shì)能的減少．由此，可求得電子到達(dá)陽(yáng)極時(shí)的動(dòng)能和速率．（2） 計(jì)算陽(yáng)極表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度，由F ＝qE 求出電子在陰極表面所受的電場(chǎng)力．解?。?） 電子到達(dá)陽(yáng)極時(shí)，勢(shì)能的減少量為由于電子的初始速度為零，故因此電子到達(dá)陽(yáng)極的速率為（2） 兩極間的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩極間的電勢(shì)差負(fù)號(hào)表示陽(yáng)極電勢(shì)高于陰極電勢(shì)．陰極表面電場(chǎng)強(qiáng)度電子在陰極表面受力這個(gè)力盡管很小， 10－3１kg 的電子上，電子獲得的加速度可達(dá)重力加速度的5 10１5 倍．6 －8　一導(dǎo)體球半徑為R１ ，外罩一半徑為R2 的同心薄導(dǎo)體球殼，外球殼所帶總電荷為Q，而內(nèi)球的電勢(shì)為V０ ．求此系統(tǒng)的電勢(shì)和電場(chǎng)的分布．分析　若，內(nèi)球電勢(shì)等于外球殼的電勢(shì)，則外球殼內(nèi)必定為等勢(shì)體，電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，內(nèi)球不帶電．若，內(nèi)球電勢(shì)不等于外球殼電勢(shì)，則外球殼內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度不為零，內(nèi)球帶電．一般情況下，假設(shè)內(nèi)導(dǎo)體球帶電q，導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)電荷的分布如圖所示．依照電荷的這一分布，利用高斯定理可求得電場(chǎng)分布．并由或電勢(shì)疊加求出電勢(shì)的分布．最后將電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)用已知量V0、Q、R１、R2表示．解　根據(jù)靜電平衡時(shí)電荷的分布，可知電場(chǎng)分布呈球?qū)ΨQ．取同心球面為高斯面，由高斯定理，根據(jù)不同半徑的高斯面內(nèi)的電荷分布，解得各區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)分布為r ＜R１時(shí)， 　R１＜r＜R2 時(shí)，r＞R2 時(shí)， 由電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的積分關(guān)系，可得各相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布．r ＜R１時(shí)，R１＜r＜R2 時(shí)，　r＞R2 時(shí)，　也可以從球面電勢(shì)的疊加求電勢(shì)的分布．在導(dǎo)體球內(nèi)（r ＜R１）在導(dǎo)體球和球殼之間（R１＜r＜R2 ）在球殼外（r＞R2）由題意　得代入電場(chǎng)、電勢(shì)的分布得r ＜R１時(shí)，；R１＜r＜R2 時(shí)，??；r＞R2 時(shí)，；6 －9　在一半徑為R１ ＝ cm 的金屬球A 外面套有一個(gè)同心的金屬球殼B．已知球殼B 的內(nèi)、外半徑分別為R2＝ cm，R3 ＝ cm．設(shè)球A 帶有總電荷QA ＝ 10－８C，球殼B 帶有總電荷QB ＝10－８C．（１） 求球殼B 內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A 和球殼B 的電勢(shì)；（2） 將球殼B 接地然后斷開(kāi)，再把金屬球A 接地，求金屬球A 和球殼B 內(nèi)、外表面上所帶的電荷以及球A 和球殼B 的電勢(shì)．分析　（１） 根據(jù)靜電感應(yīng)和靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面電荷分布的規(guī)律，電荷QA均勻分布在球A 表面，球殼B 內(nèi)表面帶電荷－QA ，外表面帶電荷QB ＋QA ，電荷在導(dǎo)體表面均勻分布［圖（ａ）］，由帶電球面電勢(shì)的疊加可求得球A 和球殼B 的電勢(shì)．（2） 導(dǎo)體接地，表明導(dǎo)體與大地等電勢(shì)（大地電勢(shì)通常取為零）．球殼B 接地后，外表面的電荷與從大地流入的負(fù)電荷中和，球殼內(nèi)表面帶電－QA ［圖（ｂ）］．?dāng)嚅_(kāi)球殼B 的接地后，再將球A 接地，此時(shí)球A 的電勢(shì)為零．電勢(shì)的變化必將引起電荷的重新分布，以保持導(dǎo)體的靜電平衡．不失一般性可設(shè)此時(shí)球A 帶電qA ，根據(jù)靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上電荷的分布規(guī)律，可知球殼B 內(nèi)表面感應(yīng)－qA，外表面帶電qA －QA ［圖（c）］．此時(shí)球A 的電勢(shì)可表示為由VA ＝0 可解出球A 所帶的電荷qA ，再由帶電球面電勢(shì)的疊加，可求出球A 和球殼B 的電勢(shì)．解?。ǎ保?由分析可知，球A 10－８C，球殼B 內(nèi)表面帶電－ 10－８C， 10－８C．由電勢(shì)的疊加，球A 和球殼B 的電勢(shì)分別為（2） 將球殼B 接地后斷開(kāi)，再把球A 接地，設(shè)球A 帶電qA ，球A 和球殼B的電勢(shì)為解得即球A 10－８C，由分析可推得球殼B 內(nèi)表面帶電－ 10－８C， 10－８C．另外球A 和球殼B 的電勢(shì)分別為導(dǎo)體的接地使各導(dǎo)體的電勢(shì)分布發(fā)生變化，打破了原有的靜電平衡，導(dǎo)體表面的電荷將重新分布，以建立新的靜電平衡．6 －10　兩塊帶電量分別為Q１ 、Q2 的導(dǎo)體平板平行相對(duì)放置（如圖所示），假設(shè)導(dǎo)體平板面積為S，兩塊導(dǎo)體平板間距為d，并且S ＞＞d．試證明（１） 相向的兩面電荷面密度大小相等符號(hào)相反；（2） 相背的兩面電荷面密度大小相等符號(hào)相同．分析　導(dǎo)體平板間距d ＜＜ S，忽略邊緣效應(yīng)，導(dǎo)體板近似可以當(dāng)作無(wú)限大帶電平板處理。試求點(diǎn)電荷qb 、qc 、qd 各受多大的電場(chǎng)力。6 －5　對(duì)于各向同性的均勻電介質(zhì)，下列概念正確的是（　?。ˋ） 電介質(zhì)充滿整個(gè)電場(chǎng)并且自由電荷的分布不發(fā)生變化時(shí)，電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有電介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的1/εｒ倍（B） 電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的1/εｒ倍（C） 在電介質(zhì)充滿整個(gè)電場(chǎng)時(shí)，電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有電介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的1/εｒ倍（D） 電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度一定等于沒(méi)有介質(zhì)時(shí)該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的εｒ倍分析與解　電介質(zhì)中的