初等函數的性質-文庫吧
2025-05-01 02:02 本頁面
【正文】 2.當x=y=時，等號成立. 所以u的最小值為++2.2．指數和對數的運算技巧。例4 設p, q∈R+且滿足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，則p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+記x=，則1+x=x2，解得又0，所以=例5 對于正整數a, b, c(a≤b≤c)和實數x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c.【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對數得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，則因為xlga=wlg70，所以w=0與題設矛盾，所以a1.又a≤b≤c，且a, b, c為70的正約數，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.【證明】 由題設logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對數，得，因為ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指數與對數式互化，取對數，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3．指數與對數方程的解法。解此類方程的主要思想是通過指對數的運算和換元等進行化簡求解。值得注意的是函數單調性的應用和未知數范圍的討論。例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化為=1。設f(x)= , 則f(x)在(∞,+∞)上是減函數，因為f(3)=1，所以方程只有一個解x=3.例8 解方程組：（其中x, y∈R+）.【解】 兩邊取對數，則原方程組可化為 ①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)236]lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)236=0(x, y∈R+)得x+y=6，代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y6=0.又y0，所以y=2, x=4.所以方程組的解為 .例9 已知a0, a1，試求使方程loga(xak)=loga2(x2a2)有解的k的取值范圍?！窘狻坑蓪敌再|知，原方程的解x應滿足.①②③若①、②同時成立，則③必成立
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