初等函數的性質(已修改)
2025-05-28 02:02 本頁面
【正文】 第四章 幾個初等函數的性質一、基礎知識1．指數函數及其性質：形如y=ax(a0, a1)的函數叫做指數函數，其定義域為R，值域為（0，+∞），當0a1時，y=ax是減函數，當a1時，y=ax為增函數，它的圖象恒過定點（0，1）。2．分數指數冪：。3．對數函數及其性質：形如y=logax(a0, a1)的函數叫做對數函數，其定義域為（0，+∞），值域為R，圖象過定點（1，0）。當0a1，y=logax為減函數，當a1時，y=logax為增函數。4．對數的性質（M0, N0）；1）ax=Mx=log aM(a0, a1)；2）log a (MN)= log a M+ log a N；3）log a（）= log a M log a N；4）log a Mn=n log a M；，5）log a =log a M；6）alog a M=M。 7) log a b=(a,b,c0, a, c1).5. 函數y=x+（a0）的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間為和。（請讀者自己用定義證明）6．連續(xù)函數的性質：若ab, f(x)在[a, b]上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)=0在（a,b）上至少有一個實根。二、方法與例題1．構造函數解題。例1 已知a, b, c∈(1, 1)，求證：ab+bc+ca+10.【證明】 設f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(1, 1))，則f(x)是關于x的一次函數。所以要證原不等式成立，只需證f(1)0且f(1)0（因為1a1）.因為f(1)=(b+c)+bc+1=(1b)(1c)0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實數，b1, b2,…,bn∈R，則（）（）≥()2，等號當且僅當存在R，使a i=, i=1, 2, …, n時成立?！咀C明】 令f(x)= （）x22()x+=,因為0，且對任意x∈R, f(x)≥0，所以△=4()4（）()≤0.展開得（）()≥()2。等號成立等價于f(x)=0有實根，即存在，使a i=, i=1, 2, …, n。例3 設x, y∈R+, x+y=c, c為常數且c∈(0, 2]，求u=的最小值。【解】u==xy+≥xy++2=xy++2.令xy=t，則0t=xy≤,設f(t)=t+,0t≤因為0c≤2，所以0≤1，所以f(t)在上單調遞減。所以f(t)min=f()=+，所以u≥++
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