《計算方法第一講》ppt課件-文庫吧
2025-04-18 07:08 本頁面
【正文】 若輸出 y=y(x)在（給定步長 h） x=h, x=2h, … x=nh處的近似值，則該問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值問題。 算法及其好壞 ? 計算機的基本運算：四則運算、簡單邏輯運算 ? 計算機的算法可分為串行算法和并行算法 ? 好的算法： 面向計算機，易于編程和計算實現(xiàn)； 計算復(fù)雜性好：計算時間少、占用內(nèi)存少； 計算穩(wěn)定性好：能有效控制由于方法近似和舍入 誤差引起的誤差增長，結(jié)果能達(dá)到所要求的精度； 適用性好。 例 3：計算多項式 x = a時 p(a)的值 。 10 1 1()nnnnp x a x a x a x a??? ? ? ? ?? 普通方法 時間： n(n+1)/2次乘法； n次加法 ? 秦九韶算法 0 0 1, , 1 , 2 , ,()k k knb a b a a b k np a b?? ? ? ??? ??時間： n次乘法； n次加法 例：計算多項式： 需 10次乘法 4次加法 。 4次乘法 4次加法 。 這是多項式計算的 秦九韶 算法 。 3次乘法 5次加法 。 4 3 20 . 0 6 2 5 0 . 4 2 5 1 . 2 1 5 1 . 9 1 2 2 . 1 2 9 6x x x x? ? ? ?( ( (0 . 0 6 2 5 0 . 4 2 5 ) 1 . 2 1 5 ) 1 . 9 1 2 ) 2 . 1 2 9 6x x x x? ? ? ?22[ ( 0 .5 0 .6 ) 0 .5 0 .7 ] [ ( 0 .5 0 .6 ) 0 .8 ] 0 .9x x x? ? ? ? ? ? ?例 4 解代數(shù)方程 ： 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??/ , 1 , 2 , ,kkx D D k n??直接法：用 Cramer法則解， 若 det(A)不為 0， 數(shù)值計算的基本方法論 ? 有限近似無限：有限維空間代替無限維空間；有限和代替積分或無限級數(shù)；差商近似導(dǎo)數(shù)； ? 代數(shù)方程組近似微分方程組； ? 高階方程低階化 ? 非線性問題線性化 ? 復(fù)雜函數(shù)用簡單函數(shù)來代替（多項式泰勒展開） ? 一般矩陣簡單化 原則：復(fù)雜問題 Q1 簡單問題 Q2 Q2與 Q1的解在一定意義下相同。 1. 直接方法（適用于可有限步內(nèi)直接計算得到解的問題） 2. 截斷近似：利用一些展開式截取其若干項來近似 3. 迭代法 4. 線性化：非線性問題局部線性化 5. 化整為零：將整體問題分割為若干小部分處理 6. 外推法：利用已算出的結(jié)果適當(dāng)組合得到更精確 的結(jié)果 3 5 7 2 1s i n3 ! 5 ! 7 ! ( 2 1 ) !nnx x x xx x Rn?? ? ? ? ? ? ??例 5：計算 sinx， x?[0， ?/4] 2 30x ??例 6：求解函數(shù)方程 f (x)=0. 例 7：求解函數(shù)方程 例 9：求解常微分方程 0( , ) , [ , ]()y f x y x a by a y? ???1 ( , )n n n ny y hf x y? ??例 8：計算定積分 ()baf x d x?一個具體的例子： 迭代格式為： 2, [ 0 , 1 ]( 0 ) 1xy y xyy? ? ? ??1 ( 2 / )n n n n ny y h y x y? ? ? ?精確解： ( ) 1 2y x x??xn
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