【正文】 E有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明．28．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與ll2與ll3與l4之間的距離分別為ddd3，且d1=d3=1，d2=2．我們把四個頂點分別在llll4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長為　 ?。?）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬=2：1，求矩形ABCD的寬．（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點D且垂直l1于點E，分別交l2，l4于點F，G．將∠AEG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30176。得到∠AE′D′（如圖2），點D′在直線l3上，以AD′為邊在E′D′左側(cè)作菱形AB′C′D′，使B′，C′分別在直線l2，l4上，求菱形AB′C′D′的邊長．29．正方形ABCD邊長為4cm，點E，M分別是線段AC，CD上的動點，連接DE并延長，交正方形ABCD的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如圖1，若點M與點C重合， 求證：DF=MN；（2）如圖2，若點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運(yùn)動，點E同時從點A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點C運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（t＞0）；①當(dāng)點F是邊AB的中點時，求t的值；②連結(jié)FM，F(xiàn)N，當(dāng)t為何值時△MNF是等腰三角形（直接寫出t值）．30．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45176。，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：　 　；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45176。，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．特殊四邊形綜合題答案1．如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？（2）請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．解：（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45176。，∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45176。，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45176。，∴OB=OQ，在△AOB和△OPQ中，∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，∴∠AOP=∠BOQ=90176。，∴OA⊥OP；（3）如圖，過O作OE⊥BC于E．①如圖1，當(dāng)P點在B點右側(cè)時，則BQ=x+2，OE=，∴y=?x，即y=（x+1）2﹣，又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=2時，y有最大值為2；②如圖2，當(dāng)P點在B點左側(cè)時，則BQ=2﹣x，OE=，∴y=?x，即y=﹣（x﹣1）2+，又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=1時，y有最大值為；綜上所述，∴當(dāng)x=2時，y有最大值為2；2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP＜PD）（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90176。后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G．①求證：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G，你認(rèn)為（1）中DF、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．【分析】（1）①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90176。及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45176。、PD=PH，即可得證；②由△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據(jù)DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90176。，∠ADC=90176。，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45176。，∴△HPD為等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45176。，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②結(jié)論：DG+DF=DP，由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：DG﹣DF=DP，如圖，過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90176。，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90176。，∴∠HDP=∠EDC=45176。，得到△HPD為等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45176。，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180176。﹣45176。=135176。，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．3．已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45176。角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．【分析】（1）當(dāng)∠EAF被對角線AC平分時，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分兩種情況進(jìn)行計算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，兩式聯(lián)立解方程組即可；（3）先判斷出∠AFD=∠CEF，再判斷出AF=EF，從而得到△ADF≌△FCE即可．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCF=∠DCE=90176。∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠ACB=∠ACD=45176。，∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被對角線AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45176。，∴∠AEF=∠AFE=176。，∵CE=CF，∠ECF=90176。，∠AEC=∠AFC=176。，∵∠CAF=∠CAE=176。，∴∠CAE=∠CEA，∴CE=AC=4，即：a=b=4；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時，①當(dāng)∠AFE=90176。時，∴∠AFD+∠CFE=90176。，∵∠CEF+∠CFE=90176。，∴∠AFD=∠CEF∵∠AFE=90176。，∠EAF=45176。，∴∠AEF=45176。=∠EAF∴AF=EF，在△ADF和△FCE中∴△ADF≌△FCE，∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，∴a=8，b=4②當(dāng)∠AEF=90176。時，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=4，b=8．（3）ab=32，理由：如圖，∵AB∥CD∴∠BAG=∠AFC，∵∠BAC=45176。，∴∠BAG+∠CAF=45176。，∴∠AFC+∠CAF=45176。，∵∠AFC+∠AEC=180176。﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180176。﹣90176。﹣45176。=45176。，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135176。，∴△ACF∽△ECA，∴，∴ECCF=AC2=2AB2=32∴ab=32．4．（2016?淄博）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45176。不變．（1）求證：=；（2）求證：AF⊥FM；（3）請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明．【分析】（1）先證明A、B、M、F四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可證明∠AFM=90176。，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題．（2）由（1）的結(jié)論即可證明．（3）由：A、B、M、F四點共圓，推出∠BAM=∠EFM，因為∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問題．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45176。，∠ABC=90176。，∵∠MAN=45176。，∴∠MAF=∠MBE，∴A、B、M、F四點共圓，∴∠ABM+∠AFM=180176。，∴∠AFM=90176。，∴∠FAM=∠FMA=45176。，∴AM=AF，∴=．（2）由（1）可知∠AFM=90176。，∴AF⊥FM．（3）結(jié)論：∠BAM=，∠FMN=∠BAM理由：∵A、B、M、F四點共圓，∴∠BAM=∠EFM，∵∠BAM=∠FMN，∴∠EFM=∠FMN，∴MN∥BD，∴=，∵CB=DC，∴CM=CN，∴MB=DN，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45176。，∴∠BAM+∠DAN=45176。，∴∠BAM=176。．5．（2016?麗水）如圖，矩形ABCD中，點E為BC上一點，F(xiàn)為DE的中點，且∠BFC=90176。．（1）當(dāng)E為BC中點時，求證：△BCF≌△DEC；（2）當(dāng)BE=2EC時，求的值；（3）設(shè)CE=1，BE=n，作點C關(guān)于DE的對稱點C′，連結(jié)FC′，AF，若點C′到AF的距離是，求n的值．【分析】（1）由矩形和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FEC=∠FCE，證出CF=CE，由ASA證明△BCF≌△DEC即可；（2）設(shè)CE=a，則BE=2a，BC=3a，證明△BCF∽△DEC，得出對應(yīng)邊成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出結(jié)果；（3）過C′作C′H⊥AF于點H，連接CC′交EF于M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出∠FEC=∠FCE，證出∠ADF=∠BCF，由SAS證明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90176。，證出四邊形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=，設(shè)EM=x，則FC=FE=x+，由勾股定理得出方程，解方程求出EM=，F(xiàn)C=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入計算即可得出n的值．（1）證明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90176。，F(xiàn)是斜邊DE的中點，∴CF=DE=EF，∴∠FEC=∠FCE，∵∠BFC=90176。，E為BC中點，∴EF=EC，∴CF=CE，在△BCF和△DEC中，∴△BCF≌△DEC（ASA）；（2）解：設(shè)CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，∴CF=DE，∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90176。，∴△BCF∽△DEC，∴=，即：=，解得：ED2=6a2由勾股定理得：，∴==；（3）解：過C′作C′H⊥AF于點H，連接CC′交EF于M，如圖所示：∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，∴FC=FE=FD，∴∠FEC=∠FCE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADF=∠CEF，∴∠ADF=∠BCF，在△ADF和△BCF中，∴△ADF≌△BCF（SAS），∴∠AFD=∠BFC=90176。，∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90176。，∴四邊形C′MFH是矩形，∴FM=C′H=，設(shè)EM=x，則FC=FE=x+，在Rt△EMC和Rt△FMC中，由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，∴12﹣x2=（x+）2﹣（）2，解得：x=，或x=﹣（舍去），∴EM=，F(xiàn)C=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入上式計算得：CF=，∴，解得：n=4．6．如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，點E從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（α=∠BCD），得到對應(yīng)線段CF．（1）求證：BE=DF；（2）當(dāng)t=　6+6　秒時，DF的長度有最小值，最小值等于　12??；（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當(dāng)t為何值時，△EPQ是直角三角形？（4）如圖3，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（α=∠BCD），得到對應(yīng)線段CG．在點E的運(yùn)動過程中，當(dāng)它的對應(yīng)點F位于直線AD上方時，直接寫出點F到直線AD的距離y關(guān)于時間t的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，結(jié)合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△B