抽屜原理的典型問題-文庫吧
2025-03-10 02:31 本頁面
【正文】 ]，[2] ?、偃暨@五個自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個抽屜中(即抽屜中分別為含有余數(shù)為0,1,2的數(shù))，我們從這三個抽屜中各取1個(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.?、谌暨@5個余數(shù)分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜，包含有3個余數(shù)(抽屜原理)，而這三個余數(shù)之和或為0，或為3，或為6，故所對應的3個自然數(shù)之和是3的倍數(shù). ?、廴暨@5個余數(shù)分布在其中的一個抽屜中，很顯然，必有3個自然數(shù)之和能被3整除. 例2′：對于任意的11個整數(shù)，證明其中一定有6個數(shù)，它們的和能被6整除. 證明：設這11個整數(shù)為：a1，a2，a3……a11 又6=23 ?、傧瓤紤]被3整除的情形 由例2知，在11個任意整數(shù)中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨設a1+a2+a3=b1?！ ⊥?，剩下的8個任意整數(shù)中，由例2，必存在：3 | a4+a5++a5+a6=b2?！ ⊥?，其余的5個任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設：a7+a8+a9=b3 ?、谠倏紤]bbb3被2整除. 依據(jù)抽屜原理，bbb3這三個整數(shù)中，至少有兩個是同奇或同偶，這兩個同奇(或同偶)|b1+b2 則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11個整數(shù)，其中必有6個數(shù)的和是6的倍數(shù). 例3： 任意給定7個不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù). 分析：注意到這些數(shù)隊以10的余數(shù)即個位數(shù)字，以0，1，…，9為標準制造10個抽屜，標以 [0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個自然數(shù)，似不便運用抽屜原則，再作調整：[6]，[7]，[8]， [9]四個抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個抽屜里有兩個數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).(二)面積問題例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經過同一點.證明：如圖，設直線EF將正方形分成兩個梯形，作中位線MN。由于這兩個梯形的高相等，故它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|:|NH| 。于是點H有確定的位置(它在正方形一對對邊中點的連線上，且|MH|:|NH|=2:3). 由幾何上的對稱性，這種點共有四個(即圖中的H、J、I、K).已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經過H、J、I、 J、I、K看成四個抽屜，九條直線當成9個物體，即可得出必定有3條分割線經過同一點. (三)染色問題例1正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆(每面只涂一種色)，證明正方體一定有三個面顏色相同. 證明：把兩種顏色當作兩個抽屜，把正方體六個面當作物體，那么6=22+2，根據(jù)原理二，至少有三個面涂上相同的顏色. 例2 有5個小朋友，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的?！±?：假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色?解：首先可以從這六個點中任意選擇一點，然后把這一點到其他五點間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至
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