[理學(xué)]第七章 留數(shù)定理及其應(yīng)用-文庫吧
2025-01-04 15:06 本頁面
【正文】 = 3 的留數(shù)，所以 例題 解 對有理函數(shù) 部分分式。 )3)(2)(1( 1)( ???? zzzzf321)( ?????? zCzBzAzf21)3)(2(1)3)(2)(1(1)1(lim)1(r e s11???????????? zz zzzzzzfA1)3)(1( 1)3)(2)(1( 1)2(lim)2(r e s22????????????? zz zzzzzzfA21)2)(1(1)3)(2)(1(1)3(lim)3(r e s33???????????? zz zzzzzzfA所以 3121211121)( ???????? zzzzf為 的一階極點， 為本性奇點， 例題 解 求 在奇點的留數(shù)。 zez?1zezf z?? 1)(1??zefbffkbk1)1(r e s)(r e s)(r e s ???????? ???zezezf zz11)1(lim)1(r e s 1 ????? ?? 補充定理： 函數(shù)上所有孤立奇點的留數(shù)之和為 0 ? 證明：設(shè)一個球面，其中 0點和無窮遠點分別在一條半徑的兩端。則從該奇點看該鄰域的正方向與從無窮遠點看該鄰域的正方向相反。和為 0。 所以，所有有限孤立奇點的留數(shù)的和與無窮遠點的留數(shù)和相加均為 0。 如果從數(shù)學(xué)上嚴格證明的話，則需要進行一些計算 證明 : 現(xiàn)在做一個區(qū)域，將所有有限奇點 囊括進去。則該區(qū)域外為無窮遠點 的鄰域 則 ????cdzzfisf )(2)(Re ?)(Re)(2 11icnizsfdzzfi ? ????2）在 C’ 內(nèi)只有 ∞ 可能是 f(z) 的 奇點，作變換 則 對于無窮遠點，定義 C’ 為繞無窮遠點正向一周的圍道， 1）在 C’ 內(nèi)有奇點 {bk} ，則 ????Cdzzfif )(2 1)(r e s ?tz1?補充討論： ????kbkbff )(res)(res? ? ? ????????????????????CCtdt tfitdtfif 212 1112 1)(r e s ??在 t = 0 點鄰域內(nèi)冪級數(shù)展開中 t－ 1 項的系數(shù) 在 t = 0 點鄰域內(nèi)冪級數(shù)展開中 t1 項的系數(shù) 在 z = ∞ 點鄰域內(nèi)冪級數(shù)展開中 z－ 1 項的系數(shù) ? ?21ttf??? ?tf 1??)(zf??此結(jié)果與有限遠處奇點的留數(shù)不同之處為： 1）形式上多了一個負號； 2） z－ 1 是 f(z) 在 ∞點展開的正則部分（絕對收斂的負冪項），即 使 ∞點不是奇點， resf(∞) 也可以不為 0；反之， 即使 ∞點是奇 點，甚至為一階極點， resf(∞) 也可以為 0。 留數(shù)的計算在積分計算中常用到！下面重點學(xué)習(xí)積分計算中留數(shù)定理的運用，涉及定積分和常見類型積分的計算。 作變換 ，即 ， ， 則 R 在 上連續(xù)，保證了 R(z) 在 上無奇點。 有理三角函數(shù)的積分 計算方法 R 為 和 的有理函數(shù)，在 上連續(xù)， izz21s in 2 ????? c o ss in??????20)c o s,( s in dRI]2,0[ ??????????????????? ??????????? ???12212221,211r e s221,21zzzzizzRzizdzzzizzRI?1?z?iez ? zz 2 1c o s 2 ??? izdzd ??]2,0[ ? 例題 解 計算積分 1,c o s1 120??? ? ?????dI??? ?????????????????12202111c o s11z izdzzzdI?????有一階極點： ??212 2????z只有 在 內(nèi) ? ?2 12 2????z 1?z???????? ???12 22z idzzz ?? ?? ?????? ???12 22res2z zz ???????2112222?????????? ??zz????????????? 212222??1,12 2 ??? ???設(shè) ，則 ， 例題 解 計算積分 )(,c o s45 c o s0為正整數(shù)mdxxmxI ? ???被積函數(shù)為偶函數(shù) ixez? izdxdz? zzx 2 1co s2 ???? ????dxxmxI c o s45 c o s21令 ???? ????????dxxmxIdxxmxI c o s45 s in,c o s45 c o s 21則 ?? ?????dxxeiIIi m xc o s4521?? ????1221 )1(251zmdzzz ziiII252)1(25)( 22 ??????? zzzzzzzf mmmmmzmzzzzzzzf231221221)2(2li m)1(2521li m21res21221??????????????????????????????????????????????????121 2323121???????? mmiiiII??在 內(nèi)，函數(shù) f(z) 只有一個一階極點 1?z )12(,21 ??? zz中的被積函數(shù)為奇函數(shù)， 2I 02 ?ImIdxxmxI23121c o s45c o s211 ????? ????11 23 ??? mI?可見 z = 0 是被積函數(shù) 在 內(nèi)的唯一奇 點，是 2n + 1 階極點，若求 2n 階導(dǎo)數(shù)則很復(fù)雜，故將 f(z) 在 中展開 例題 解 計算積分 ???202c o s xdxI nixez? dzzidx ??zzx 2 1cos 2 ??1222 )1()(???nnzzzf令 ????????????????????????? ???112222122202)1(221c o sznnnznndzzzidzzizzxdxI?1?z??? z0由二項式定理知 ????? ???? nkknnnnzknk nzzzzf2024121222)!2(!)!2(1)1()(21 )!()!2(!!)!2()0(r e snnnnnaf ????當 k = n 時，為 項 1?z22222202)!2()!2(2)!()!2(22)!()!2(22c o snnnnnniix d xInnnn?????????????????? ????????nknknzknkn201224)!2(!)!2(??????nkknzknkn20122)!2(!)!2( 的奇點 均為一階極點， 只有 在 內(nèi) 例題 解 計算積分 ? ?????202c o s11 dI令 ????????????????????????204020202c o s312c o s312c o s31
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