【正文】 直接在 z = 0 作展開 求 在奇點處的留數(shù)。 ??????????????????????1101111)()()()()(bzaabzabzabzazf mmmm? ? bzmmm zfbzdzdma ???? ???? )()()!1( 1 111?????????????????????110111)()()()()()(mmmmmmbzabzabzabzaazfbz兩邊同乘以 (z－ b)m 得 0)( ?? ? bzbz 1?a常見情況： ， P(z)、 Q(z) 在 b 點及其鄰域內(nèi)解 析， z = b 是 Q(z) 的一階零點。第七章 留數(shù)定理及其應用 數(shù)學物理方法 —— 留數(shù)定理 單值 函數(shù) f(z) 在孤立奇點 bk 鄰域內(nèi)的洛朗展開 中的 項的系數(shù) 稱為 f(z) 在 bk處的留數(shù)， 記作 ，或 。 )(1ka?)(res kbf留數(shù) ????????llkkl bzazf )()()(1)( ?? kbz定義 ? ?kbzf ),(r e s 設光滑的簡單閉合曲線 C 是區(qū)域 G 的邊界，若除了有限個孤立奇點 bk ( k =1, 2, n ) 外，函數(shù) f(z) 在 G 內(nèi)單值解析，在 上連續(xù)，且 C 上沒有奇點，則 ?????1)(r e s2)(kkCbfidzzf ?留數(shù)定理 定理 G如圖，圍繞每個奇點 bk 作閉合曲線 gk ，使 gk 均在 G 內(nèi)，且互不交疊，由復連通區(qū)域的柯西定理知 ? ????nkC kdzzfdzzf1)()(g????????nnkkn bzazf )()()(證明 ng1g2gkgGC將 f(z) 在 bk 的鄰域內(nèi)展開為洛朗級數(shù) ? ? ?? ? ??????????????????nk nnkknnk nnkknCkkdzbzadzbzadzzf1)(1)()()()(gg復連通區(qū)域的柯西定理 ＋洛朗展開系數(shù)公式 ??????????1,01,2)(nnidzazCn ?因為 且 C 內(nèi)含有 z = a ?????? ???nkknkkCbfiiadzzf11)(1 )(r e s22)( ??可知 留數(shù)定理 設 z = b 是 f(z) 的 m 階極點，則在 b 點的鄰域內(nèi) 留數(shù)的求法 全為正冪項，求導 (m1) 后，低于 (m1) 次的冪項沒有了，高于 (m1) 次的冪項在 ，只剩 了。 Q(b) = 0， Q’ (b) ≠ 0， P(b) ≠ 0，則 )()()(zQzPzf ?若 z = b 是一階極點，則 ? ?)()(lim1 zfbzabz ?? ??? ? )( )()( )(lim)()( )()(lim)()(lim1 bQ bPzQ bzbPzQ zPbzzfbza bzbzbz ?????????? ???? ????)()(1 bQbPa???小結(jié)：求留數(shù)的方法 ⅰ 根據(jù)定義將函數(shù)在奇點鄰域展開，求展開系數(shù) a－ 1 ⅱ 求積分 ⅲ 對 m 階極點求導數(shù) ⅳ 對一階極點，求極限 ⅴ 對一階極點，有 )( )(1 zQ zPa ??????kdzzfiag?)(2 11? ? bzmmm zfbzdzdma ???? ???? )()()!1( 1 111? ?)()(lim1 zfbza bz ?? ?? 例題 解 求 在奇點處的留數(shù)。 ?? ??????????onnnnnonnni b zi a zzbanin ibziazzzee 222 )(!!)()(1方法二： 是一階奇點 0?z201 lim)0(res zeezaf i bzi azz?????? zee i bzi azz??0l i m? ? 0??? zi b zi a z i b ei a e )( bai ??所以 是 的三階極點。 ? ?32 11?ziz ??? ?32 11?z ? ?32 1?z iz ??0?iz ??? ? 2232 )1(6)1( ???? zzz? ? )1(24)1(6)1( 222232 ?????? zzzz? ? 322)3(32 48)1(72)1( zzzz ????? ?32 11?z0?iz ??izzizdzdif???????????? 32322)1(1)(!21)(res? ? bzmmm zfbzdzdma ???? ???? )()()!1( 1 111izzizdzd??????????? 32221!21izizdzd??????????322 1!21izizdzd???????????4)(3!21iziz ???? 5)(12!21iziz ??? 5)(65326i? i163??izzizdzdif?????????????? 32322)1(1)(!21)(resizzizdzd???????????? 32221!21izzdzd???????????32211!21izizdzd????????????4)(3!21iziz ????? 5)( 12!21iziz ???? 5)( 6 5)2( 6i?? 5326i??i163?為一階極點， 為二階極點 先分析奇點的類型 例題 解 求 在奇點 處的留數(shù)。 例題 解 求 在孤立奇點的留數(shù)。 )3)(2)(1( 1)( ???? zzzzf321)( ?????? zCzBzAzf21)3)(2(1)3)(2)(1(1)1(lim)1(r e s11???????????? zz zzzzzzfA1)3)(1( 1)3)(2)(1( 1)2(lim)2(r e s22????????????? zz zzzzzzfA21)2)(1(1)3)(2)(1(1)3(lim)3(r e s33???????????? zz zzzzzzfA所以 3121211121)( ???????? zzzzf為 的一階極點， 為本性奇點， 例題 解 求 在奇點的留數(shù)。則從該奇點看該鄰域的正方向與從無窮遠點看該鄰域的正方向相反。 所以，所有有限孤立奇點的留數(shù)的和與無窮遠點的留數(shù)和相加均為 0。則該區(qū)域外為無窮遠點 的鄰域 則 ????cdzzfisf )(2)(Re ?)(Re)(2 11icnizsfdzzfi ? ????2）在 C’ 內(nèi)只有 ∞ 可能是 f(z) 的 奇點，作變換 則 對于無窮遠點，定義 C’ 為繞無窮遠點正向一周的圍道， 1）在 C’ 內(nèi)有奇點 {bk} ，則 ????Cdzzfif )(2 1)(r e s ?tz1?補充討論： ????kbkbff )(res)(res? ? ? ????????????????????CCtdt tfitdtfif 212 1112 1)(r e s ??在 t = 0 點鄰域內(nèi)冪級數(shù)展開中 t－ 1 項的系數(shù) 在 t = 0 點鄰域內(nèi)冪級數(shù)展開中 t1 項的系數(shù) 在 z = ∞ 點鄰域內(nèi)冪級數(shù)展開中 z－ 1 項的系數(shù) ? ?21ttf??? ?tf 1??)(zf??此結(jié)果與有限遠處奇點的留數(shù)不同之處為： 1）形式上多了一個負號； 2） z－ 1 是 f(z) 在 ∞點展開的正則部分（絕對收斂的負冪項），即