【正文】 數(shù)用 X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量 . 事件 {收到不少于 1次呼叫 } { X 1} ?? {沒有收到呼叫 } {X= 0} ?167。 隨機(jī)變量的概念 定義 設(shè) E是一隨機(jī)試驗(yàn)， S 是它的樣本空間， 則稱 S 上的單值實(shí)值函數(shù) X ( ?)為 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量一般用 X, Y , Z ,?或小寫希臘字母 ?, ?, ? 表示 )( ?? XS 實(shí)數(shù)按一定法則 ????? ????若 隨機(jī)變量的概念 如，若用 X 表示電話總機(jī)在 9:00~10:00接到 的電話次數(shù)， }100{ ?X 或 )100( ?X—— 表示“某天 9:00 ~ 10:00 接到的電話 次數(shù)超過 100次”這一事件 則 例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往 需要多個(gè)指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等 S = {兒童的發(fā)育情況 ? } X ( ? ) — 身高 Y ( ? ) — 體重 Z ( ? ) — 頭圍 各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能 沒有關(guān)系 —— 即 相互獨(dú)立 隨機(jī)變量的分類 離散型隨機(jī)變量 非離散型隨機(jī)變量 — 其中一種重要的類型為 連續(xù)性隨機(jī)變量 定義了一個(gè) x 的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)，記為 F ( x ) ,即 定義 設(shè) X 為隨機(jī)變量 , 對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) x , 隨機(jī)事件 )( xX ? 的概率 )( xXP ????????? xxXPxF ),()(隨機(jī)變量的分布函數(shù) 167。 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 定義 若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限多個(gè)或 無窮可列多個(gè)，則稱 X 為 離散型隨機(jī)變量 描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的 概率 分布 或 分布律 ，即 ?,2,1,)( ??? kpxXP kk概率分布的性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的概念 ? ?,2,1,0 ?? kp k 非負(fù)性 ? 11????kkp 規(guī)范性 F( x) 是分段階梯函數(shù)，在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)， 在間斷點(diǎn)處有躍度 pk 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) )()()( 1????? kkkk xFxFxXPp))(()()( ?xxkkxXPxXPxF????????????xxkxxkkkpxXP )((1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1 p 0 p 1 1,0,)1()( 1 ???? ? kppkXP kk注 其分布律可寫成 常見的離散型隨機(jī)變量的分布 凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果， 應(yīng)用場(chǎng)合 常用 0 – 1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng) 計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等 . (2) 二項(xiàng)分布 ),( pnB背景： n 重 Bernoulli 試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)感興趣 的事件 A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) —— X 是 一離散型隨機(jī)變量 若 P ( A ) = p , 則 nkppCkXPkP knkknn ,1,0,)1()()( ?????? ?稱 X 服從 參數(shù)為 n, p 的二項(xiàng)分布，記作 ),(~ pnBX0 – 1 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布 二項(xiàng)分布的取值情況 設(shè) ),8(~ 31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8,1,0,)1()()()( 8313188 ?????? ? kCkXPkP kkk? 由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)， 32 或?k分布取得最大值 )3()2( 88 ?? PP此時(shí)的 稱為最可能成功次數(shù) kx P ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 R軟件中的統(tǒng)計(jì)計(jì)算 一、統(tǒng)計(jì)分布 每一種分布有四個(gè)函數(shù)： d―density （密度函數(shù)）， p― 分布函數(shù)， q― 分位數(shù)函數(shù)， r― 隨機(jī)數(shù)函數(shù)。 比如，正態(tài)分布 dnorm， pnorm， qnorm， rnorm 下列各分布前面加前綴 d、 p、 q或 r就構(gòu)成函數(shù)名： norm：正態(tài)， t： t分布， f： F分布， chisq：卡方（包括非中心） unif：均勻， binom：二項(xiàng)分布， 統(tǒng)計(jì)計(jì)算 一、統(tǒng)計(jì)分布 下列各分布前面加前綴 d、 p、 q或 r就構(gòu)成函數(shù)名： exp：指數(shù)， weibull：威布爾， gamma：伽瑪， beta：貝塔 lnorm：對(duì)數(shù)正態(tài)， logis：邏輯分布， cauchy：柯西， binom：二項(xiàng)分布， geom：幾何分布， hyper：超幾何， nbinom：負(fù)二項(xiàng)， pois：泊松 signrank：符號(hào)秩， wilcox：秩和， tukey：學(xué)生化極差 Binomial package:stats R Documentation The Binomial Distribution Description: Density, distribution function, quantile function and random generation for the binomial distribution with parameters 39。size39。 and 39。prob39。. 查詢的函數(shù) dbinom、 pbinom、 qbinom、 rbinom幫助信息 ， 并用幫助文件中的案例進(jìn)一步學(xué)習(xí) . Usage: dbinom(x, size, prob, log = FALSE) pbinom(q, size, prob, = TRUE, = FALSE) qbinom(p, size, prob, = TRUE, = FALSE) rbinom(n, size, prob) Arguments: x, q: vector of quantiles. p: vector of probabilities. n: number of observations. If 39。length(n) 139。, the length is taken to be the number required. size: number of trials. prob: probability of success on each trial. log, : logical。 if TRUE, probabilities p are given as log(p). : logical。 if TRUE (default), probabilities are P[X = x], otherwise, P[X x]. Details: The binomial distribution with 39。size39。 = n and 39。prob39。 = p has density p(x) = choose(n,x) p^x (1p)^(nx) for x = 0, ..., n. If an element of 39。x39。 is not integer, the result of 39。dbinom39。 is zero, with a warning. p(x) is puted using Loader39。s algorithm, see the reference below. The quantile is defined as the smallest value x such that F(x) =p, where F is the distribution function. Value: 39。dbinom39。 gives the density, 39。pbinom39。 gives the distribution function, 39。qbinom39。 gives the quantile function and 39。rbinom39。 generates random deviates. If 39。size39。 is not an integer, 39。NaN39。 is returned. 結(jié)果： ans = y = 輸入以下命令： dbinom(k， n， p) ),20(~ BY例 4： 求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 Y分布率的值 輸入以下命令： dbinom(10,20,) x=0:20。 y=dbinom(x,20,) y 設(shè) ),20(~ BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 ? ? x P ? ? ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 20 由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)， 4?k分布取得最大值 )4(20 ?P ? 輸入以下命令： dbinom(0,8,1/3) dbinom(1,8,1/3) x=0:8。 y=dbinom(x,8,1/3) y 例 5： 求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 X分布率的值