[工學(xué)]第4章____線性系統(tǒng)的概軌跡法-文庫吧
2025-01-04 11:57 本頁面
【正文】 根軌跡， 而 模值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點(diǎn)的 值。 *K? 模值方程 不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而 相角方程 只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)。 ? 相角方程 是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的 充分必要條件 。 首 1型 例 1： 2( ) ( ) 2 /( 2 )G s H s K s??已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 122 4 , 2 4s j s j? ? ? ? ? ?試證明復(fù)平面上點(diǎn) 是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 應(yīng)滿足相角方程 12122 , 2,ppss? ? ? ? 若系統(tǒng) 閉環(huán) 極點(diǎn)為 證明： 該系統(tǒng)的 開環(huán) 極點(diǎn) 四 .根軌跡方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 3. 模值方程和相角方程 K* Π i=1 m szi Π i=1 n spi = 1 ∑ i=1 m ∠ ( spi ) ∑ i=1 m ∠ ( spi ) = (2k+1)? 2s以 為試驗(yàn)點(diǎn)，可得 1s 以 為試驗(yàn)點(diǎn)，可得 圖 4－ 4 1 1 1 2( ) ( ) 9 0 9 0( 2 1 )22 ( 1 )s p s pkk????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???001 1 1 2( ) ( ) 90 90( 2 1 )22s p s pk?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?(k=0) 2s 2s四 .根軌跡方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 3. 模值方程和相角方程 12,ss 都滿足相角方程，所以， 點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)。 12,ss例 2: 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng) 變化時其根軌跡如圖 45所示，求根軌跡上點(diǎn) 所對應(yīng)的 K值。 4( ) ( ) / ( 1 )G s H s K s??0K ? ? ?1 0 .5 0 .5sj? ? ?圖 45 四 .根軌跡方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 3. 模值方程和相角方程 *K解 根據(jù)模值方程求解 值 4 1| 0 .5 0 .5 1 |Kj ?? ? ?模值方程 2| 0 .5 0 .5 1 |2j? ? ? ?14K ?K* Π i=1 m szi Π i=1 n spi = 1 四 .根軌跡方程 4－ 1 根軌跡法的基本概念 3. 模值方程和相角方程 練習(xí)： 1. 滿足根軌跡相角條件的點(diǎn)（） B. 不一定在根軌跡上 C. 不一定滿足幅值條件 D. 不一定滿足閉環(huán)特征方式2. 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(S)=K/(s+1)(s+2)(s+4) (1)證明系統(tǒng)的根軌跡通過 s1= 1+√3 j (2)求有一個閉環(huán)極點(diǎn)在 s1= 1+√3 j 時的 K的值。 (3)求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大倍數(shù) K的取值范圍。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 一 . 根軌跡的分支數(shù) 分支數(shù)＝開環(huán)極點(diǎn)數(shù)或零點(diǎn)數(shù)中大者 ＝閉環(huán)特征方程的階數(shù) 二 . 根軌跡對稱于實(shí)軸 閉環(huán)極點(diǎn)為 實(shí)數(shù) → 在實(shí)軸上 復(fù)數(shù) → 共軛 → 對稱于實(shí)軸 起 于開環(huán) 極點(diǎn) ， 終 于開環(huán) 零點(diǎn) 。 三 . 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) *111)()(Kpszsniimii????????由根軌跡方程有： 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 0* ?K 0?? ipsips ?→ → 起點(diǎn) ??*K 0?? izsizs ?→ → 終點(diǎn) 三 . 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 若開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m 開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n 有 ( )個開環(huán)零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處 ) 則有 ( )條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) mn ?mn ?四 . 實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。 證明： 設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 在實(shí)軸上任取一試驗(yàn)點(diǎn) 代入相角方程則 3411121( ) ( )( ) ( )()( 2 1 )iiiis z s ps z s zspk? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ???1s所以相角方程成立，即 是根軌跡上的點(diǎn)。 1s4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 四 . 實(shí)軸上的根軌跡 一般，設(shè)試驗(yàn)點(diǎn)右側(cè)有 L個 開環(huán)零點(diǎn)， h個開環(huán)極點(diǎn)，則有關(guān)系式 證畢 11( ) ( ) ( )lhiiiis z s p l h ???? ? ? ? ? ? ???( ) ( 2 1 )l h k??? ? ??如滿足相角條件必有 所以， Lh必為奇數(shù)，當(dāng)然 L+h也為奇數(shù)。 四 . 實(shí)軸上的根軌跡 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 例 : 2 ( 1 )()( 2 )KsGsss???0K ? ? ?解： 將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成 零、極點(diǎn)形式 （首 1型） 設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/[s(+1)],求 時的閉環(huán)根軌跡。 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 2. 根軌跡對稱于實(shí)軸 4. 實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè) 1. 根軌跡的分支數(shù) 閉環(huán)特征方程的階數(shù) 閉環(huán) 極點(diǎn) 為 實(shí)數(shù) → 在實(shí)軸上 復(fù)數(shù) → 對稱于實(shí)軸 3. 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn) 起 于開環(huán) 極點(diǎn) ， 終 于開環(huán) 零點(diǎn) 開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù) 最后繪制出根軌跡如圖 4－ 7所示。 ① 法則一，有兩條根軌跡 ② 法則三，兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn)0、－ 2，一條終于有限零點(diǎn)－ 1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。 ③ 法則四，在負(fù)實(shí)軸上， 0到－ 1區(qū)間和－ 2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。 按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行： 法則五 . 根軌跡的漸近線 ?漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為： mnka ??? ?? )12(?漸近線與實(shí)軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為： mnzpnimjjia???? ?? ?1 1?4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 例 : 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試根據(jù)法則五，求出根軌跡的漸近線。 1 2 3 40 , 4 , 1 1 , 1 1 ,4p p p j p jn? ? ? ? ? ? ? ? ??極點(diǎn) 解： 零點(diǎn) 1 , 1zm? ? ?*2( 1 )( ) ( )( 4 ) ( 2 2 )KsG s H ss s s s??? ? ?法則五 . 根軌跡的漸近線 4－ 2 常規(guī)根軌跡的繪制 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為： mnka ??? ?? )12(漸近線與實(shí)軸相交點(diǎn)的坐標(biāo)為： mnzpnimjjia ???? ?? ?1 1?按照公式得 12300011( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )4 1 360 ( 0)18 0 ( 1 )30 0 ( 2)53nmiiiikkknmkkkpznm?????????????????????????????
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