彈性力學(xué)平面問題(9-10)-文庫吧
2025-01-04 02:14 本頁面
【正文】 。 例： 其中： C為常數(shù)。 由幾何方程得： 積分得： 由幾何方程的第三式得： 顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。 變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示 （ 1）平面應(yīng)力情形 將物理方程代入相容方程，得： （ 222） 利用平衡方程將上述化簡： （ 215） （ 22） （ a） 將上述兩邊相加： （ b） 將 (b) 代入 (a) ，得： 將 上式整理得： （ 223） 應(yīng)力表示的相容方程 （ 2）平面應(yīng)變情形 將 上式中的泊松比 μ代為： ， 得 （ 224） （平面應(yīng)力情形） 應(yīng)力表示的相容方程 （平面應(yīng)變情形） 注意： 當體力 fx、 fy 為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即 （ 225） 按應(yīng)力求解平面問題的基本方程 （ 1）平衡方程 （ 22） （ 2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程） （ 223） （ 3）邊界條件： （ 218） （平面應(yīng)力情形） 說明： （ 1）對位移邊界問題，不易按應(yīng)力求解。 （ 2）對應(yīng)力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。 （ 3）對多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。 ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 例 8 下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計體力）。 （ 1） （ 2） 解 （ a） （ b） （ 1） 將式（ a）代入平衡方程： （ 22） —— 滿足 將式（ a）代入相容方程： ∴ 式（ a）不是一組可能的應(yīng)力場。 例 8 下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計體力）。 （ 1） （ 2） （ a） （ b） （ 2） 解 將式（ b）代入應(yīng)變表示的相容方程： 式（ b）滿足相容方程， ∴ （ b）為可能的應(yīng)變分量。 例 9 圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力 P作用，不計體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力 的表達式，并取擠壓應(yīng)力 =0，然后說明這些表達式是否代表正確解。 解 材料力學(xué)解答： 式（ a）滿足平衡方程和相容方程？ （ a） 式（ a）是否滿足邊界條件？ 代入平衡微分方程： （ 22） 顯然，平衡微分方程滿足。 式（ a）滿足相容方程。 再驗證，式（ a）是否滿足邊界條件？ —— 滿足 ——滿足 ——近似滿足 近似滿足 結(jié)論：式（ a）為正確解 代入相容方程： 0?上、下側(cè)邊界： 右側(cè)邊界： 左側(cè)邊界： 例 7 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。 左側(cè)面： 代入應(yīng)力邊界條件公式 右側(cè)面： 代入應(yīng)力邊界條件公式，有 上端面： 為次要邊界，可由圣維南原理求解。 y方向力等效： 對 O點的力矩等效： x方向力等效： y?yx?注意： 必須按正向假設(shè)！ ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 常體力下平面問題的相容方程 令： —— 拉普拉斯（ Laplace）算子 則相容方程可表示為： —— 平面應(yīng)力情形 —— 平面應(yīng)變情形 當體力 X、 Y
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