數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(chǔ)-文庫吧
2025-01-03 18:42 本頁面
【正文】 0 . ??? ? ? ?? ? ? ? ???xA A A A xA A x A xA） 顯 然 若 則反 之 ， 若111 1 1 2 m a x ( ) m a x m a x ( ) m a x m a x .??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???xxx x xn A BA B A B x A x B xA x B x A x B xAB） 對 任 意 兩 個 階 方 陣 和 ， 由 算 子 范 數(shù) 的 定 義 ， 可 由 向 量 范 數(shù) 誘 導(dǎo) 出 矩 陣 范 數(shù) ：正定性 三角不等式 1111 3 . m a x ( ) m a x ( ) m a x m a x ???????????xxxxnxAxA Ax A xxAB AB x A BxA Bx A B xAB） 對 任 意 維 非 零 向 量 ,有 即 故 有 nvvv v vRAA x A x???nn設(shè) 是 中 的 向 量 范 數(shù) ， 則 為 R 上 的 矩 陣且 滿 足定范 數(shù)理矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性 相容性 例 5: 設(shè) A＝ (aij)∈M. 定義 2,11|| || | |nijijAan ?? ?證明 ： 這樣定義的非負(fù)實(shí)數(shù)不是相容的矩陣范數(shù) . 證明：設(shè) 1 1 1 1,1 1 1 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2222AB ??? ????|| || 1 , || || 1 , || || 2A B AB? ? ?從而 || || || || || ||AB A B?定理 4： 設(shè) n 階方陣 A = (aij)n?n，則 （ Ⅰ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 1x??? niijj aA11m a x（ Ⅱ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 2x12 ??A其中 ?1為矩陣 ATA的最大特征值。 （ Ⅲ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 ?x????njiji aA1m a x上述三種范數(shù)分別稱為矩陣的 1范數(shù)、 2范數(shù)和 ∞ 范數(shù)。 可以證明 , 對方陣 和 ，有 nnRA ?? nxR?22|| || || || || ||FAx A x??? ?? ??ninjijF aA1 12|||||| (向量 || ||2的直接推廣 ) Frobenius范數(shù) : || || ( )TFA tr A A?注： （ 1） （ 2） 矩陣的 Frobenius范數(shù) 不是算子范數(shù)。 3．矩陣 的范數(shù)與特征值之間的關(guān)系 定理 5： 矩陣 A 的譜半徑不超過 A的任一相容矩陣范數(shù)，即
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