【正文】 (x)的值初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（20）代數(shù)恒等式的證明內(nèi)容提要證明代數(shù)恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法兩種相反的恒等變形，要特別注意運(yùn)用乘法公式和等式的運(yùn)算法則、性質(zhì)。具體證法一般有如下幾種1．從左邊證到右邊或從右邊證到左邊，其原則是化繁為簡。變形的過程中要不斷注意結(jié)論的形式。2．把左、右兩邊分別化簡，使它們都等于第三個(gè)代數(shù)式。3．證明：左邊的代數(shù)式減去右邊代數(shù)式的值等于零。即由左邊－右邊＝0可得左邊＝右邊。4，由己知等式出發(fā)，經(jīng)過恒等變形達(dá)到求證的結(jié)論。還可以把己知的條件代入求證的一邊證它能達(dá)到另一邊，例題例1求證：3 n+2－2　n＋2＋25 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n1） 證明：左邊＝255 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2?。? n） ＝105 n+1＋3 n(32+1)－2 n1(23＋2)　　　　　＝10（5 n+1+3 n－2 n1）=右邊　又證：左邊＝25 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1) ＝25 n+2＋103 n－52 n右邊＝105 n+1+103 n－102 n1 　　　　 ＝25 n+2＋103 n－52 n∴左邊＝右邊例2 己知:a+b+c=0 　求證：a3+b3+c3=3abc證明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(見19例1)∵:a+b+c=0　∴a3+b3+c3－3abc＝0　　即a3+b3+c3=3abc又證：∵:a+b+c=0　　∴a=－（b+c）兩邊立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3） 移項(xiàng)　 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再證：由己知　a=－b－c 代入左邊,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 ＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+,a≠b≠c　求證：a2b2c2=1證明：由己知ab= ∴bc= bc= ∴ca= 同理ab= ∴ab　bc　ca＝＝1　　即a2b2c2=1例4 己知:ax2+bx+c是一個(gè)完全平方式（a,b,c是常數(shù)）求證：b2－4ac=0 證明：設(shè):ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常數(shù)那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2根據(jù)恒等式的性質(zhì)　得　∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0練習(xí)201． 求證： ①(a+b+c)2+(a+bc)2－(abc)2－(abc)2＝8ab ②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x2y)x3－(y2x)y3=(x+y)(xy)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)：a2+b2=2ab 求證：a=b：a+b+c=0 求證：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2：a2=a+1 　　求證：a5=5a+3：x＋y－z=0 　　　求證： x3+8y3=z3－6xyz：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求證：a=b=c：a∶b=b∶c　　　　　 求證：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)：abc≠0，ab+bc=2ac 　 求證：9．己知：　 求證：x+y+z=0：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一個(gè)完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求證：ad=bc初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（21）比較大小內(nèi)容提要1． 比較兩個(gè)代數(shù)式的值的大小，一般要按字母的取值范圍進(jìn)行討論，常用求差法。根據(jù)不等式的性質(zhì)：當(dāng)a－b＞0時(shí)，a＞b；　當(dāng)a－b＝0時(shí)，a=b；　當(dāng)a－b＜0時(shí)a＜b。2． 通常在寫成差的形式之后，用因式分解化為積的形式，然后由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定其符號。3． 需要討論的可借助數(shù)軸，按零點(diǎn)分區(qū)。4． 實(shí)數(shù)（有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱）的平方是非負(fù)數(shù)，在決定符號時(shí)常用到它。即若a是實(shí)數(shù)，則a2≥0，由此而推出一系列絕對不等式（字母不論取什么值，永遠(yuǎn)成立的不等式）。諸如(a－b)2≥0，　　　a2+1＞0，　　　　a2+a+1=(a+)2+＞0－a2≤0，　　　－（a2+a+2）＜0　　當(dāng)a≠b時(shí)，－（a－b）2＜0例題例1 試比較a3與a的大小解：a3－a=a(a+1)(a－1) a3－a=0,即a3=a　　以－1，0，1三個(gè)零點(diǎn)把全體實(shí)數(shù)分為4個(gè)區(qū)間，由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定其符號： 當(dāng)a＜－1時(shí)，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3個(gè)負(fù)因數(shù)）∴a3－a＜0　　即a3＜a 當(dāng)－1＜a＜0時(shí)　a＜0,a－1＜0（2個(gè)負(fù)因數(shù)）　 ∴a3－a＞0　　即a3＞a當(dāng)0＜a＜1時(shí)，　a－1＜0（1個(gè)負(fù)因數(shù)）　　 ∴a3－a＜0　　即a3＜a當(dāng)a＞1時(shí)，沒有負(fù)因數(shù)， 　 ∴a3－a＞0　　即a3＞a綜上所述當(dāng)a=0,－1，1時(shí)， a3=a當(dāng)a＜－1或0＜a＜1時(shí)，a3＜a當(dāng)－1＜a＜0或a＞1時(shí)，a3＞a?！。ㄔ嚳偨Y(jié)符號規(guī)律）例2 什么數(shù)比它的倒數(shù)大？解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則當(dāng)并且只當(dāng)x －＞0時(shí)，x 比它的倒數(shù)大，　x －＝ 　　 －1　　　0　　　1以三個(gè)零點(diǎn)－1，0，1把實(shí)數(shù)分為4個(gè)區(qū)間，由例1可知當(dāng)x＞1或－1＜x＜0時(shí)，x比它的倒數(shù)大。例3　己知步行的速度是騎車速度的一半，自行車速度是汽車速度的一半，甲、乙兩人同時(shí)從A去B，甲乘汽車到中點(diǎn)，后一半用歩行，乙全程騎自行車，問誰先到達(dá)？解：設(shè)從A到B有x千米，步行速度每小時(shí)y 千米，那么甲、乙走完全程所用時(shí)間分別是t甲＝，　　t乙＝t甲－t乙＝　　∵x＞0，y＞0　∴t甲－t乙＞0答：乙先到達(dá)B地例4己知a≠b≠c，求證：a2+b2+c2＞ab+bc+ca證明：a2+b2+c2－ab+bc+ca＝2（a2+b2+c2－ab+bc+ca）＝（2a2+2b2+2c2－2ab+2bc+2ca）＝［（ab）2+(bc)2+(ca)2］∵a≠b≠c，（ab）2＞0，(bc)2＞0，(ca)2＞0∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca又證：∵a≠b，∴（ab）2＞0　 a2+b2＞2ab(1)　　　　同理b2+c2＞2bc(2) c2+a22ca(3)(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca　即a2+b2+c2＞ab+bc+ca例5　比較 3（1＋a2+a4）與(1+a+a2)2的大小解：3（1＋a2+a4）－(1+a+a2)2＝3［（1＋a+a2）22a2a22a3］－(1+a+a2)2　　　　　　　　?。?(1+a+a2)2－6a(1＋a+a2) =2(1＋a+a2)( 1＋a+a23a)=2(1＋a+a2)(1a)2∵1＋a+a2＝（＞0，　(1a)2≥0∴當(dāng)a=1時(shí)，3（1＋a2+a4）＝(1+a+a2)2 當(dāng)a≠1時(shí)，3（1＋a2+a4）＞(1+a+a2)2 例6 解方程　　　　 解：以－,和2兩個(gè)零點(diǎn)分為3個(gè)區(qū)間 當(dāng)x，－(2x+1)－(x2)=4, 解得x=－1　當(dāng)－≤x2時(shí)，（2x+1）－（x2）=4, 解得x=1 當(dāng)x≥2時(shí)，（2x+1）+(x－2)＝4　解得x=, ∴在x≥2范圍無解綜上所述原方程有兩個(gè)解x=－1, x=1練習(xí)211． 己知a0,b0,且a+b0. 試把a(bǔ),b,0及其相反數(shù)記在數(shù)軸上。并用“＜”號把它們連接。2． 比較下列各組中的兩個(gè)數(shù)值的大?。孩賏4與a2 ②與3． 什么數(shù)的平方與立方相等？什么數(shù)的平方比立方大？4． 甲乙兩人同時(shí)從A去B，甲一半路程用時(shí)速a千米，另一半路程用時(shí)速b千米；乙占總時(shí)間的一半用時(shí)速a千米,另一半時(shí)間用時(shí)速b千米,問兩人誰先到達(dá)？5． 己知　abcd0且a∶b=c∶d， 試比較a+c與b+d的大小6． 己知ab,xy. 求證：ax+byay+bx7． 己知abc, xyz 求證：①ax+by+czaz+bx+cy ②ax+by+czaz+bx+cy(提示：可應(yīng)用第6題的結(jié)論)8． 己知ab0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，請舉個(gè)反例。①　?、赼b1 ③ ④a－2b0,b,c都是大于－1的負(fù)數(shù)，（即－1＜a,b,c0下列不等式哪些不能成立？試各舉一個(gè)反例?！、賏+b－c0 ②(abc)21 ③a2b2c20 ④abc1①②③④⑤的5條水管，其中有的是進(jìn)水管，有的是出水管，同時(shí)開放其中的兩條水管，注滿水池所用的時(shí)間列表如下開放的水管號①②②③③④④⑤⑤①時(shí)間（小時(shí)）2156310問單獨(dú)開放哪條水管能最快注満水池？答：＿＿＿　（1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（22）分式內(nèi)容提要1． 除式含有字母的代數(shù)式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值確定的。(1)分式中，當(dāng)B≠0時(shí)有意義；當(dāng)A、B同號時(shí)值為正，異號時(shí)值為負(fù)，反過來也成立。分子、分母都化為積的形式時(shí)，分式的符號由它們中的負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)來確定。(2)若A、B及都是整數(shù)，那么A是B的倍數(shù)，B是A的約數(shù)。(3)一切有理數(shù)可用來表示，其中A是整數(shù)，B是正整數(shù)，且A、B互質(zhì)。2． 分式的運(yùn)算及恒等變形有一些特殊題型，要用特殊方法解答方便。例題例1．x取什么值時(shí)，分式的值是零？是正數(shù)？是負(fù)數(shù)？3012解： ＝ 以零點(diǎn)－2，－1，0，3把全體實(shí)數(shù)分為五個(gè)區(qū)間，標(biāo)在數(shù)軸上（如上圖）當(dāng)x=－1,x=3時(shí)分子是0，分母不等于0，這時(shí)分式的值是零；當(dāng)x－2, －1x0, x3時(shí)，分式的值是正數(shù)（∵負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)）當(dāng)－2x－1, 0x3時(shí)，分式的值是負(fù)數(shù)（∵負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)）例2．m取什么值時(shí)，分式的值是正整數(shù)？解：＝＝2＋當(dāng)例3．計(jì)算＋－－＞－2且m－1是9的約數(shù)時(shí)，分式的值是正整數(shù)即m－1＝1，3，9，－9　　解得m=2,4,10,－8?！　〈穑海裕┙猓河脦в喑ǖ?，原式＝1＋＋1＋－1－－1－＝＋＝＋＝4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5　　求①a∶b∶c ②解：設(shè)a+b=3k,則b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分別減上列各式得a=2k, b=k, c=3k∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②＝＝例5．一個(gè)兩位數(shù)除以它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，要使商為最小值，求這個(gè)兩位數(shù)；如果要使商為最大值呢？解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為10x+y，那么0＜x≤9,　　0≤y≤9 ?。?＋當(dāng)x取最小值1，y取最大值9時(shí)，分式的值最小；當(dāng)x取最大值9，y取最小值0時(shí)，分式的值最大。答：商為最小值時(shí)的兩位數(shù)是19，商為最大值時(shí)的兩位數(shù)是90。練習(xí)221． a=___時(shí)，分式的值是02． 已知?jiǎng)t分式＝＿＿＿＿3． 若x和分式都是整數(shù)，那么x=_______________4． 直接寫出結(jié)果:① x=(x+)______ ②(x2++2)247。（x+=____ ③ （x2）247。（x+）=__＿＿?、埽?＋（1－＝＿＿＿＿5．化簡繁分式，并指出字母x 取什么值時(shí)它沒有意義。6．x取什么值時(shí)分式的值是零？是正數(shù)？是負(fù)數(shù)？7．計(jì)算：①＋?、凇、?．解方程：　　⑶（其中9．已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1, 求①x∶y∶z　?、凇　　?0．已知a≠b≠c且　　　求證：ax+by+cz=0：　　求：（x+y）∶z的值12．由三個(gè)非零且相異的數(shù)字組成的三位數(shù)，除以這三個(gè)數(shù)字和，其商的最小值是多少？13．在保證分母不等于0的前提下，分式中的x不論取什么值分式的值都不變，問a和b之間的關(guān)糸應(yīng)滿足什么條件？14.　已知　求證：（a2+b2+c2）(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(23)遞推公式內(nèi)容提要1． 先看一例：a1=b,a2=,a3=……　an+1=這里a1,a2,a3……an,an+1是對應(yīng)于正整數(shù)1，2，3……n,n+1 的有序的一列數(shù)（右下標(biāo)的數(shù)字表示第幾項(xiàng)），這一列數(shù)只要給出某一項(xiàng)數(shù)值，就可以推出其他各項(xiàng)數(shù)值。例如: 若　a1=10, 則a2==,a3=10,a4=,a5=10……　　2. 為了計(jì)算的方便，通常把遞推公式寫成以a1和n表示an的形式，這可用經(jīng)驗(yàn)歸納法。 例如：把遞推公式an+1=an+5改為用a1 和n來表示∵a2=a1+5,　∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+25， a4=a3+5=(a1+25)+5=a1+35……　　　　∴an=a1+(n1)5如果 已知a1=10, 求a20,顯然代入這一公式方便。A20=10+195=105，可尋找遞推公式求解，這叫遞推法。例題：a1=2, an=an1+2(n1) (n≥2)　　 求：a100的值 解：a100=a99+299 =a98+298+299 =…… =a1+21+22+23+……+2