【正文】 x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系數(shù)，比較右邊和左邊的x和y兩項(xiàng) 的系數(shù)，得　　解得∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)　這是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式　常數(shù)項(xiàng)可分解為－（3y－4）（3y+5）,用待定系數(shù)法，可設(shè)2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］比較左、右兩邊的x2和x項(xiàng)的系數(shù)，得m=2, n=1∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)練習(xí)191． 分解因式：①x4+x2y2+y4 　?、趚4+4 　　 ③x4－23x2y2+y42. 分解因式： ①x3+4x2－9 　 ②x3－41x+30 ③x3+5x2－18 　④x3－39x－703. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 　　　　　②x3－3x2+3x+7　　　　　　?、踴3－9ax2+27a2x－26a3 　　?、躼3+6x2+11x+6　　　　　　?、輆3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：①3x3－7x+10　 ②x3－11x2+31x－21 ③x4－4x+3 ④2x3－5x2+15. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48　④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－916．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy ?、趚2－y2+2x－4y－3③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4 ⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）7. 己知：n是大于1的自然數(shù)　　求證：4n2+1是合數(shù)8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 　　　且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：當(dāng)x=1時，f(x)的值初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（20）代數(shù)恒等式的證明內(nèi)容提要證明代數(shù)恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法兩種相反的恒等變形，要特別注意運(yùn)用乘法公式和等式的運(yùn)算法則、性質(zhì)。再分別以這些商代入原式求值，可知只有當(dāng)x=時，原式值為0。2，177。3得商177。2分別去除常數(shù)項(xiàng)3的約數(shù)177。解：∵x=2時，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）②分析：用最高次項(xiàng)的系數(shù)2的約數(shù)177。3,177。1,177。（注意這里16是完全平方數(shù)）② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③ 分析：添上－a2 和a2兩項(xiàng)，分別與a5和a+1組成兩組，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2． 運(yùn)用因式定理和待定系數(shù)法定理：⑴若x=a時，f(x)=0, ［即f(a)=0］，則多項(xiàng)式f(x)有一次因式x－a?、迫魞蓚€多項(xiàng)式相等，則它們同類項(xiàng)的系數(shù)相等。下面再介紹兩種方法1． 添項(xiàng)拆項(xiàng)。3，177。1，177。 x－3解法一：列豎式做除法　?。ㄈ缬遥　　　　　　－2　x2－5x+m　　由　余式m－6＝0　得m=6 　　　　　　　　　　 x2－2x　　解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6 22－52 ＋m=0 得m=6 m－6解法三：設(shè)x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a　(a為待定系數(shù)) 那么　x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝　x2+(a2)x－2a　根據(jù)左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等，得　　　解得　（本題解法叫待定系數(shù)法）例2 己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除求：m、n 的值及商式　　解：∵被除式＝除式商式　（整除時余式為0）∴商式可設(shè)為x2+ax+b　得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）＝x4+(a2)x3+(b+12a)x2+(a2b)x+b　根據(jù)恒等式中，左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等，得　 　　　　　　解得　　　∴m=－11,　n=4,　商式是x2－3x+4　　例3 m取什么值時，x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?　　　　解：當(dāng)　x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除時，它含有x+y+z 因式　令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必為0　即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0　　把左邊因式分解，得?。瓂z(y+z)(m+3)=0, ∵yz≠0, 　∴當(dāng)y+z=0或m+3=0時等式成立　　∴當(dāng)x,y（或y,z或x,z）互為相反數(shù)時，m可取任何值　，當(dāng)m=－3時，x,y,z不論取什么值，原式都能被x+y+z整除。這可以推廣到任意多項(xiàng)式。顯然當(dāng)　x=4或x=－1時x2－3x－4＝0，3． 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，則f(a)=0反過來也成立，若f(a)=0,則x－a能整除f(x)。既然方程的解不可能是奇數(shù)，也不能是偶數(shù)，∴方程ax2+bx+c=0沒有整數(shù)解 (以上的證明方法是反證法)例4求方程x2－y2＝60的正整數(shù)解　　解：(x+y)(x－y)=60，60可分解為：160，230，320，415，512，610左邊兩個因式(x+y)，(x－y)至少有一個是偶數(shù)因此x, y必湏是同奇數(shù)或同偶數(shù)，且xy0,適合條件的只有兩組　　　解得　　　　∴方程x2－y2＝60的正整數(shù)解是　　練習(xí)171． 選擇題①設(shè)n是正整數(shù)，那么n2+n1的值是（　　）（A）偶數(shù)（B）奇數(shù)（C）可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)②求方程85x－324y=101的整數(shù)解，下列哪一個解是錯誤的？（　?。。ˋ）（B）（C）（D）2． 填空：①能被3，5，7都整除的最小正偶數(shù)是＿＿＿②能被9和15整除的最小正奇數(shù)是＿＿最大的三位數(shù)是＿＿③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇數(shù)或偶數(shù)？答＿＿④正整數(shù)1234…20012002是奇位數(shù)或偶位數(shù)？答＿＿⑤能被11整除，那么n是正奇數(shù)或正偶數(shù)？答＿＿3． 任意三個整數(shù)中，必有兩個的和是偶數(shù)，這是為什么？4． 試說明方程2x+10y=77沒有整數(shù)解的理由5． 求證：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除6． 試證明：任意兩個奇數(shù)的平方和的一半是奇數(shù)7． 求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整數(shù)解8． 方程19x+78y=8637的解是( )(A) (B) (C) (D)9. 十進(jìn)制中，六位數(shù)能被33整除，求a,b的值 初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（18）整式的整除內(nèi)容提要1． 定義：如果一個整式除以另一個整式所得的商式也是一個整式，并且余式是零，則稱這個整式被另一個整式整除。所以n是4的倍數(shù)。偶數(shù)＝偶數(shù)　奇數(shù)奇數(shù)＝奇數(shù)　奇數(shù)偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)＝偶數(shù)　奇數(shù)的正整數(shù)次冪是奇數(shù)，偶數(shù)的正整數(shù)次冪是偶數(shù)，　兩個連續(xù)整數(shù)的和是奇數(shù)，積是偶數(shù)。奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)177?？杀硎緸椋? 　　　整數(shù)　　　　　　　或 整數(shù)集合 　這就是說，在整數(shù)集合中是偶數(shù)就不是奇數(shù)，不是偶數(shù)就是奇數(shù)，如果既不是偶數(shù)又不是奇數(shù)，那么它就不是整數(shù)。如果n是正整數(shù)，那么2n是正偶數(shù)，2n1是正奇數(shù)。初中競賽輔導(dǎo)資料初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（17）奇數(shù)　偶數(shù)內(nèi)容提要1． 奇數(shù)和偶數(shù)是在整數(shù)集合里定義的，能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，如2，0－2…，不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)，如－1，1，3。如果n 是整數(shù)，那么2n是偶數(shù)，2n－1或2n+1是奇數(shù)。2． 奇數(shù)、偶數(shù)是整數(shù)的一種分類。3． 奇數(shù)偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：　奇數(shù)177。偶數(shù)＝奇數(shù)，偶數(shù)177。例題例1 求證：任意奇數(shù)的平方減去1是8的倍數(shù)證明：設(shè)k為整數(shù)，那么2k－1是任意奇數(shù)，（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)∵k(k－1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，必是偶數(shù)　∴4k(k－1)是8的倍數(shù)即任意奇數(shù)的平方減去1是8的倍數(shù)例2 已知：有n個整數(shù)它們的積等于n，和等于0　求證：n是4的倍數(shù)證明：設(shè)n個整數(shù)為x1,x2,x3,…xn 根據(jù)題意得 如果n為正奇數(shù)，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇數(shù)，而奇數(shù)個奇數(shù)的和必是奇數(shù)，這不適合方程（2）右邊的0，所以n一定是偶數(shù)；當(dāng)n為正偶數(shù)時，方程（1）左邊的x1,x2,x3,…xn中，至少有一個是偶數(shù)，而要滿足方程（2）右邊的0，左邊的奇數(shù)必湏是偶數(shù)個，偶數(shù)至少有2個。例3己知：a,b,c都是奇數(shù)求證：方程ax2+bx+c=0沒有整數(shù)解證明：設(shè)方程的有整數(shù)解x，若它是奇數(shù)，這時方程左邊的ax2，bx，c都是奇數(shù)，而右邊0是偶數(shù)，故不能成立；若方程的整數(shù)解x是偶數(shù)，那么ax2,bx,都是偶數(shù)，c是奇數(shù)，所以左邊仍然是奇數(shù)，不可能等于0。2． 根據(jù)被除式＝除式商式＋余式，設(shè)f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么　式的整除的意義可以表示為：　若f(x)＝p(x)q(x)，　則稱f(x)能被 p(x)和q(x)整除　例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。4． 在二次三項(xiàng)式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab　　　則p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等。例題例1己知　x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。例4　分解因式x3－x+6 分析：為獲得一次因式，可用x=177。2，177。6（常數(shù)項(xiàng)6的約數(shù)）代入原式求值，只有x=－2時值為0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）　解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）練習(xí)181． 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 則m=___, n=___2． x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿3． 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m4． 己知x4+ax3+bx－16含有兩個因式x－1和x –2,求a和b的值5． 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式6． 己知ab≠0,m取什么值時，a3－6a2b+mab28b3有因式a－2b.7． 分解因式：①x37x+6, ②x33x2+4, ③x310x3　①　x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解的結(jié)果是（　?。?A)(x+y)(yz)(xz) (B) (x+y)(y+z)(xz) (c) (xy)(yz)(x+z)　　(D) (xy)(y+z)(x+z)②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整數(shù))，對于下列各組的p,q值能使n的值為最大的是（　?。ˋ） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（19）因式分解內(nèi)容提要和例題我們學(xué)過因式分解的四種基本方法：提公因式法，運(yùn)用公式法，十字相乘法，分組分解法。,能運(yùn)用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1?、赼3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3應(yīng)添上兩項(xiàng)3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2　　 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20　?、凇5+a+1① 分析：把中項(xiàng)－11x拆成－16x+5x 分別與x5,20組成兩組，則有公因式可提。例3因式分解：①x3－5x2+9x－6?、?x3－13x2+3①分析：以x=177。2,177。6（常數(shù)6的約數(shù)）分別代入原式，若值為0，則可找到一次因式，然后用除法或待定系數(shù)法，求另一個因式。1，177。1，177。1，177。177。故可知有因式2x1解：∵x=時，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，　　　設(shè)2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3），?。╝是待定系數(shù)）比較右邊和左邊x2的系數(shù)得　2a－1＝－13，　a=－6∴2x