【正文】 0220718 19 clear。 m = 50。 p1= 1:365。 p2= [1:365m, 365*ones(1,m)]。 p = p1./p2。 p = 1 prod(p)。 fprintf(39。至少兩人同一天生日的 概率 為 ： %f\n39。,p)。 試驗二的理論值計算 13 6 5 !11( 3 6 5 ) ! 3 6 5 mppm? ? ? ???20220718 20 , 20220718 21 function buffon(l,d,n) % l平行線間距 % d針長， n 為投針次數(shù) m=0。 for i=1:n alpha=rand(1)*pi。 y=rand(1)*d/2。 if y=l/2*sin(alpha) m=m+1。 end end fprintf(39。針與平行線相交的頻率為 ： %f\n39。,m/n)。 fprintf(39。計算出來的 pi 為 ： %f\n39。,2*n*l/(m*d))。 源程序 20220718 22 function [pai,number]=buffon1(a,b,N) % a， b分別為平行線間距和針長， N 為投針次數(shù) x=unifrnd(0,pi,N,1)。 y=unifrnd(0,a,N,1)。 number=0。 % 相交計數(shù)器 for i=1:N if y(i)=b*sin(x(i)) number=number+1。 end end pai=2*b*N/(a*number)。 fprintf(39。針與平行線相交的頻率為： %f\n39。,number/N)。 fprintf(39。計算出來的 pi 為： %f\n39。,pai)。 源程序 20220718 23 167。 2 報童的賣報問題 問題： 報童每天清晨從郵局購進報紙零售，晚上將賣不出去的退回，設(shè)報紙每份的購進價為 b，零售價為 a，退回價為 c，當然應(yīng)有 abc。請你給報童籌劃一下，他應(yīng)如何確定每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。 20220718 24 分析： 報童購進數(shù)量應(yīng)根據(jù)需求量確定，但需求量是隨機的，所以報童每天如果購進的報紙?zhí)?，不夠賣，會少賺錢；如果購進太多，賣不完就要賠錢，這樣由于每天報紙的需求量是隨機的，致使報童每天的收入也是隨機的 因此 衡量報童的收入 ，不能是報童每天的收入，而應(yīng)該是他長期（幾個月、一年）賣報的 日平均收入 。從概率論大數(shù)定律的觀點看，這相當于報童每天收入的期望值，以下簡稱平均收入。 20220718 25 記報童每天購進 n份報紙時平均收入為 G(n)，考慮到需求量為 r的概率是 p(r)，所以 ?)( nG ??????nrrprncbrba0)()])(()[()1()()(1??????nrrnpba 假設(shè) 報童已經(jīng)通過自己的經(jīng)驗或其它渠道掌握 了需求量的隨機規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天 報紙的需求量為 r份的概率是 p(r),（ r＝ 0,1,2, … ）。 問題歸結(jié)為 在 p(r)、 a、 b、 c已知時，求 n使 G(n)最大。 20220718 26 通常需求量 r的取值和購進量 n都相當大，將 r 視為連續(xù)變量，這時 p(r)轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù) f(r)，(1)式變?yōu)椋? ? ????? n drrfrncbrbanG 0 )()])(()[()()2()()( drrnfban?? ??計算 ? ?????? n rnfbadrrfcbnnfbadndG 0 )()()()()()(? ?? ?? n drrfba )()(20220718 27 ? ? ??????? n n drrfbadrrfcb 0 )()()()(得令 0?dndG )3()()(0cbbadrrfdrrfnn???????使報童日平均收入達到最大的購進量 n應(yīng)滿足 (3)，或 cbbadrrfdrrfnn???? ??00)(1)(?)4()(0? ???ncabadrrf20220718 28 )4()(0? ???n ca badrrf 根據(jù)需求量的概率密度 f(r)的圖形 很容易 從 (4)式確定購進量 n。 n=? 在圖中，用 分別表示曲線 f(r)下的兩塊面積，則(3)式 又可記作： 21, PP)5(21cbbaPP???)3()()(0cbbadrrfdrrfnn???????20220718 29 )5(21cbbaPP??? 因為當購進 n份報紙時： ?? n drrfP 01 )( 是賣不完的概率； ???? n drrfP )(2 是賣完的概率； 購進的份數(shù) n應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于 賣出一份賺的錢 a－ b與退回一份賠的錢b－ c之比。 (3)(或 5)式 表明： 20220718 30 當報童與郵局簽訂的 合同 使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數(shù)就應(yīng)該越多。 例如： 若每份報紙的購進價為 ，售出價為，退回價為 ，需求量服從均值 500份、均方差 50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進多少份報紙才能平均收入最高，這個最高收入是多少？ 20220718 31 解： 查表可得 n＝ μ＋ ＝ 516 即每天購進 516份報紙。 按照 (2)式，可得最高收入 G≈。 因為 , ???? caba851 ?P按 (4)式， （其中 μ＝ 500 ,σ＝ 50） ),(~ 2??Nr因為 20220718 32 問題： 人群中有病人（帶菌者）和健康人（易感染者） . 任何兩人之間的接觸是隨機的 . 當健康人與病人接觸時健康人是否被感染也是隨機的 . 通過實際數(shù)據(jù)或經(jīng)驗掌握了這些隨機規(guī)律 . 怎樣估計 平均每天有多少健康人被感染， 這種估計的 準確性 有多大？ 167。 3 傳染病的隨機感染 — 一個完整的建模介紹 求解方法 ?? 20220718 33 (參見美 堆鹽問題 87A求解 ) 20220718 34 模型假設(shè) 1. 人群只分病人和健康人兩類，病人數(shù)和健康人數(shù)分別 記為 i 和 s ，總數(shù) n 不變，即 nsi ?? （ 1 ） 2. 人群中任何二人的接觸是相互獨立的，具有相同概率， 每人每天平均與 m 人接觸。 3 . 當健康人與一病人接觸時，健康人被感染的概率為 ? 。 注： 符號說明 20220718 35 排列與組合，概率計算 隨機變量與分布函數(shù)，離散型隨機變量的分布律 nknknnk pqpknpqnqpnkX?????? ???????????? 1110二項分布 ).,(~ pnbX預(yù)備知識 建模時可能用到的一些物理定律、數(shù)學公式或方法等 建模目的是尋找健康人中每天平均被感染的人數(shù) 與已知參數(shù)