【正文】 ? ? ? ?? ? ?B S a a 由法拉第電磁感應(yīng)定律知 ? ?1 s in 2 c o s 22i n m ma b B t a b B ttt?? ? ? ???? ? ? ? ? ? 當線圈增至 N 匝時，磁通增至 N 倍，有 c o s 2in mN a b B t? ? ??? 。 7 第 3 章 解 ： 電荷元 dd 2 lqqa??? 在圓環(huán)軸線上場點 P 的電位為 ? ?? ?12200 21220 2d 1 d 1d4 4 214q q lRa azqaz? ? ? ? ? ?? ?????????????? 故 ? ? ? ?332 2 2 22200 1d 44z z zq z qza z a z?? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?????E a a a。 解 ： 先假設(shè)雙線傳輸線為有限長度 2L，導線與 z 軸重合，其中點在原點處。其中一根導線上所有電流元產(chǎn)生的矢量 磁 位都與 z 軸方向一致，可知 ? ? ? ? ? ?? ?122 21220 0 021122 2 22 2d l n l n4 4 4L Lz z zL LLLI I Iz zzz LL?? ? ??? ? ?? ?? ?? ?????????? ? ? ? ?????????? ???A a a a 式中 ? ?1222xy??? 。 當 L?? 時 ，利用二項式定理 ? ? ? ?1 1 1n n? ? ?? ? ? =可知 ? ? 121 222 2 1LLl??????? ? ????????? 1L L?????????L ???。 上式近似寫為 200ln ln42zzIILL??? ? ? ?????????A a a。 現(xiàn)將平行 于 z 軸的雙線傳輸線分置于 dx z?? 處，可知在 xy 平面上兩電流元離場點的距離為 2 21 2dxy?????? ? ?????????和 2 22 2dxy?????? ? ?????????。利用疊加原理可得 220 0 0212 21 2 1 2l n l n l n l n2 2 2z z zdxyI I ILL zdxyz? ? ??? ? ? ? ? ????????? ??? ? ? ? ? ??????? ??????A A A a a a。 8 解 ： 對于球?qū)ΨQ分布，可由高斯定理求 E 和 D ，再由位場關(guān)系求 ? ，而求 P 的公式為 ? ?00 1r? ? ?? ? ? ?P D E E。 在區(qū)域 r＞11200: 44r qqb rr??? ??? ，Ea，1 0 1 2 04r qr? ?? ? ?1，D E a P； 在區(qū)域 a≤ r≤2 220: 44rrrqqb rr?? ? ???? ，E a a 2221144z r r rqqrr? ? ???? ? ?????， ，D a P a 2 1 2 1 2 01 1 1 1d d = d = 144b r rr r r bbb rrqqE r E r rr b r?? ? ? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ?????????? ? ?； 在區(qū)域 r＜33220:044rrqqa rr? ? ?? ? ?， ，E a D a P， 3 2 3 drr a ra Er?? ???? 0 1 1 1 1 1 1 14 rrq b a r? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???。 解 ： 對于軸對稱分布，可應(yīng)用安培環(huán)路定理求磁場。通過導磁圓柱的穩(wěn)恒電流為均勻分布，其體電流密度為 2z Ib??Ja 在區(qū)域 ? ＜ 22:2 Ib H J S b? ?? ????? ? ? ，22 Ib? ? ????? ???? ，Ha 2() 2πIb? ??? ???B H a 0? ?????????BM a H 20 1 2Ib? ??? ???????????????? ，a ? ? 20221 2z z S b zIIMJ bb? ? ????? ? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?，1J M a a M a a； 在區(qū)域 ? ＞0: 22IIb ????? ????，H a B a。 看出上述解與例 中令 0a? 的結(jié)果一致。當 b?? 時， ?， ，J J H 和 0?B ，這是因為有限源分布在無限大空間，對空間中 任 一點幾乎不存在 源 ，自然沒有源產(chǎn)生 場 。 9 解 ： （ 1） 兩極板上面電荷密度均為S QS??。 設(shè)帶 Q? 和 Q? 的極板分別置于 yd? 和0y? 處，則 E 的方向與 y 反向。利用導體表面電場的法向邊界條件式（ ） SnnQS???? ? ? ?E a a 忽略極板邊緣效應(yīng)，電介質(zhì)內(nèi) E 為常量。于是 ? ?0 12ddy d d nnyo Q Q Q SU y d CS S U d????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? 故E l a a； （ 2）兩極板間電壓為 U，極板間電場為均勻分布，且等于 nUd??Ea 利用式（ ）可知SnUE d? ? ???。 因此，S SQ S Ud?? ????????和 SQC U d???，結(jié)果相同。 解 ： 對于球?qū)ΨQ分布，由高斯定理得 2241 1 1d44raab bQrUrr r a b??? ? ? ????? ? ? ??????Ea 故 4abQ abC U b a????? 當 b?? 時，可得半徑為 a 的弧立導體，其電容為 4Ca??? 。 地球的介電常數(shù)取為 0??? ，可得地球電容為 6 396 .5 1 0 0 .7 2 2 1 0 7 2 29 1 0C F F???? ? ? ??。 解 ： 對于軸對稱分布，可應(yīng)用安培環(huán)路定 理 首先求磁場。為此，跨過螺線管 一 側(cè)作矩形閉合回路，與管長平行一邊的長度為 L，得磁感應(yīng)強度 00BL nL I B nI????， 磁通和磁通鏈為 200nB S na I n SI? ? ? ? ?? ? ?， =n 單位長度電感 200L n S?? 10 解 ： 設(shè)內(nèi)線圈中通以電流 I1，則管芯中與外線圈交鏈的 磁 通 ，可按 題得磁通 ? ?2112 0 1N aIl? ? ???? ???? 外線圈有 N2匝 ，得磁通鏈 201 2 2 1 2 1 2 11N N N a Il?? ? ??? 互感為 21 2 01 2 1 211nL N N aIl?? ??? 。 解 ： 利用電場的切向和法向邊界條件得 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1si n si n c os c osE E E E? ? ? ? ? ???， 兩式相比得 2211tantan??? 2E 的大小和方向為 ? ? ? ? ? ?1222 2 222 12 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1212 22 11 1 12sin c o s sin c o ssin c o stnE E E E E E EE?? ? ? ???????? ????? ? ? ? ? ? ???????? ?????? ?????? 2211arc ta n ta n??????? ????。 解 ： 解法類似于 題，只需將 ? 用 ? 來取代， 即 得 1222 22 1 1 11si n c osHH???????????? ?????? 2211arc ta n ta n??????? ????。 解 ： 解法類似于 題，只需將 ? 用 ?來取代，即得 122222 1 1 11 si n c o sJJ? ????????????????? 2211arc ta n ta n??????? ???? 11 解 ： 忽略平行板電容器的邊緣效應(yīng)，可知電介質(zhì)內(nèi)的電場為均勻恒定值 UE d? 。由式（ ）和（ ）求得電容器的能量為 ? ?2221211d22eew CUUSw S Udd???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 由 題知 SC d?? 。 解 ： 對于軸對稱分布，應(yīng)用安培環(huán)路定理知 2NI? ???Ha （ a≤ ? ≤ b） 2201128m NIwH?? ?????? ???? ? ?2 2 2200 0011d d d d l n84bhmm Va NI bW w V z N I h a? ?? ? ?? ? ???? ? ?????? ? ? ?。 解 ： 參考例 。其中 0q 所 受 力 ? ?0 1 2 3204rq q q qr?????Fa 。 解 ： （ 1）利用靜電場量公式 圖 （ a）表示在球內(nèi)取任一半徑為 r＇ 、 厚度為 dr＇ 的 微分球殼，其體積為 2d 4 dV r r???? ，dV? 內(nèi)的電荷量為 20d 4 dq r r????? 。圖 （ b）表示微分球殼可視為如同例 的薄層球面電荷分布，其等效面電荷密度為 ? ?02d d4S q rr??? ????r，因此可以直接照搬例 的結(jié)果進行計算，并將結(jié)果改寫為如下形式 ? ?2 02200d d d 0 Srrrr r r rE rrrr??????? ? ? ????? ?????r ? ?? ?32002 2 200 0 0220 0 022000 0 01d 34d d 3arr r r rraQE r r r ar r rE r r r r r r arr??? ? ? ?? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? 。rr 12 （ 2）利用靜電位標量公式 將例 的結(jié)果改寫為如下形式 ? ?2200022000d d rd SSrr r r rrrr r r rrr???????????? ??????? ???? ??????r ? ?? ?? ?? ?23000230000030220000d 3d 31 34 3arrrar r arrr r arraQrarrErr r a???????? ? ? ??????? ? ??? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ??????。rrrr （ 3）利用高斯定 理公式 ? ?3000230043 443 ra QraErrra??????????????????? ???r 故 ? ? 20001 4 3rQ rarEr r a????? ????? ?? ???。r 解 ： 將載流圓柱腔看作半徑分別為 a 和 b，且電流密度反向的兩圓柱體疊加。兩圓柱體具有軸對稱分布，可應(yīng)用安培環(huán)路定理得各圓柱內(nèi) 任 一點的磁場 ? ?? ?2001 1 1 1122 2 2 22222zzzzJJJJ????? ? ???? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?B a a aB a a