走向高考183二輪數(shù)學專題6第1講-文庫吧
2024-12-23 09:47 本頁面
【正文】 不等式的解法 (2022 合肥市質(zhì)檢 ) 關(guān)于 x 的不等式 ax2－ | x ＋ 1|＋ 3 a ≥ 0 的解集為 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，則實數(shù) a 的取值范圍是________ ． [ 答案 ] [ 12 ，＋ ∞ ) [ 分析 ] 不等式的解集為 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，即對任意 x ∈ R ，不 等式 ax 2 － | x ＋ 1| ＋ 3 a ≥ 0 恒成立，注意到參數(shù) a 容易分離，故利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題． 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 [ 解析 ] 由題意可得 ax2－ | x ＋ 1| ＋ 3 a ≥ 0 ， x ∈ R 恒成立， ∴a ( x2＋ 3) ≥ | x ＋ 1| ， ∵ | x ＋ 1| ≥ 0 ， ∴ a ≥ 0 ， 又 x2＋ 30 ， ∴ a ≥ (| x ＋ 1|x2＋ 3)m a x. 不妨設 x ＋ 1 ＝ t ，當 t 0 時，| x ＋ 1|x2＋ 3＝x ＋ 1x2＋ 3＝tt2－ 2 t ＋ 4＝1t ＋4t－ 2≤12，當且僅當 t ＝ 2 時取等號， ∴ t 0 時，| x ＋ 1|x2＋ 3的最大值為12. 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 當 t 0 時，| x ＋ 1|x2＋ 3＝－ tt2－ 2 t ＋ 4＝1? － t ? ＋4－ t＋ 2≤16， 當且僅當 t ＝－ 2 時取等號， ∴ t 0 時，| x ＋ 1|x2＋ 3的最大值為16， 綜上知， a ≥12. 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 若關(guān)于 x 的不等式 (2 x － 1) 2 ax 2 的解集中整數(shù)恰好有 3 個，則實數(shù) a 的取值范圍是 ________ ． [ 答案 ] ( 25 9 ， 4916 ] 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 [ 解析 ] ∵ (2 x － 1)2 ax2有解， ∴ a 0 ，不等式化為 (4 － a ) x2－ 4 x ＋ 10 ， ∵ 其解集中的整數(shù)恰有 3 個， ∴????? 4 － a 0Δ 0， ∴ 0 a 4 ， ∴ 不等式的解為12 ＋ a x 12 － a， 由 0 a 4 知，1412 ＋ a12，故其解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3 ，因此 312 － a≤ 4 ，解之得，259 a ≤4916. 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 [方法規(guī)律總結(jié) ] 1． 解簡單的分式 、 指數(shù) 、 對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價轉(zhuǎn)化為整式不等式 (一般為一元二次不等式 )求解 ． 2． 解決含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類 ， 關(guān)鍵是找到對參數(shù)進行討論的原因 ． 確定好分類標準 ， 有理有據(jù) 、 層次清楚地求解 ． 3． 解不等式與集合結(jié)合命題時 ， 先解不等式確定集合 ，再按集合的關(guān)系與運算求解 ． 4． 分段函數(shù)與不等式結(jié)合命題 ， 應注意分段求解 ． 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 基本不等式及其應用 (2022 徐州質(zhì)檢 ) 設 a 、 b 、 c 都是正實數(shù)，且 a 、b 滿足1a＋9b＝ 1 ，則使 a ＋ b ≥ c 恒成立的 c 的范圍是 ( ) A ． (0,8] B ． (0,10] C ． (0,12] D ． (0,16] [ 答案 ] D 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 [ 分析 ] c ≤ a ＋ b 恒成立，設 a ＋ b 的最小值為 m ，則 c ≤ m .∵ a 、 b 為正實數(shù)，且1a＋9b＝ 1 ，故可用 “ 1 的代換 ” 求 a ＋ b 的最小值． [ 解析 ] ∵ a 、 b 為正實數(shù)，1a＋9b＝ 1 ， ∴ a ＋ b ＝ ( a ＋ b )(1a＋9b) ＝ 10 ＋ba＋9 ab≥ 10 ＋ 2ba9 ab＝ 16 ，當且僅當ba＝9 ab，即 a ＝ 4 ， b ＝ 12 時等號成立， ∴ ( a ＋ b ) min ＝ 16 ，要使 c ≤ a ＋ b 恒成立， ∵ c 為正實數(shù)， ∴ 0 c ≤ 16. 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 ( 2022 濟南三月模擬 ) 在 △ ABC 中， E 為 AC 上一點，且 AC→＝4 AE→， P 為 BE 上一點，且滿足 AP→＝ m AB→＋ n AC→( m 0 ， n 0) ，則1m＋1n取最小值時，向量 a ＝ ( m ， n ) 的模為 ________ ． [ 答案 ] 56 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 [ 解析 ] 利用向量運算得 m 、 n 的關(guān)系，再利用基本不等式求解．因為 B 、 P 、 E 三點共線，所以存在實數(shù) λ ，使得 BP→＝ λ BE→，所以 AP→－ AB→＝ λ ( AE→－ AB→) ＝ λ (14AC→－ AB→) ，所以 AP→＝ (1 － λ ) AB→＋14λ AC→，由平面向量的基本定理可得 m ＝ 1 － λ ， n ＝14λ ，即 m ＋ 4 n＝ 1. 專題六 第一講 走向高考 二輪專題復習 新課標版 數(shù)學 又 m 0 ， n 0 ，所以1m＋1n＝ (1m＋1n)( m ＋ 4 n ) ＝ 5 ＋4 nm＋mn≥ 5＋ 24 nmmn＝ 9 ，當且僅當 m ＝ 2 n ，即 m ＝13， n ＝16時取等號，此時 a ＝ ( m ， n ) ＝ (13，16) ， 所以 | a |＝ ?13?2＋ ?16?2＝56. 專題六 第一講 走向高考
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