【正文】 ex，則g(x)＝________.3.(2011上海)設(shè)g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù)，若f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域?yàn)閇－2,5]，則f(x)在區(qū)間[0,3]上的值域?yàn)開___________．4.(2011北京)已知點(diǎn)A(0,2)，B(2,0)，若點(diǎn)C在函數(shù)y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為________．5.(2011上海) 已知函數(shù)f(x)＝a2x＋b3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0.(1) 若ab0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2) 若ab0，求f(x＋1)f(x)時(shí)x的取值范圍．6.(2011湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1) 當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2) 當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí)) (2011鎮(zhèn)江一模)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1) 如果x∈[1,4]，求函數(shù)h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；(2) 求函數(shù)M(x)＝的最大值；(3) 如果對不等式f(x2)f()＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：令t＝log2x，(1分)(1) h(x)＝(4－2log2x)log2x＝－2(t－1)2＋2，(2分)∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，(3分)∴ h(x)的值域?yàn)閇0,2]．(4分)(2) f(x)－g(x)＝3(1－log2x)，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f(x)≥g(x)；當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝　M(x)＝(6分)當(dāng)0＜x≤2時(shí)，M(x)最大值為1；(7分)當(dāng)x＞2時(shí)，M(x)＜1.(8分)綜上：當(dāng)x＝2時(shí)，M(x)取到最大值為1.(9分)(3) 由f(x2)f()＞kg(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞klog2x，∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt對一切t∈[0,2]恒成立，(10分)①當(dāng)t＝0時(shí)，k∈R；(11分)②t∈(0,2]時(shí)，k＜恒成立，即k＜4t＋－15，(12分)∵ 4t＋≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)取等號．(13分)∴ 4t＋－15的最小值為－3.綜上：k＜－3.(14分)第2講　函數(shù)、圖象及性質(zhì)1. 已知a＝，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m、n滿足f(m)＞f(n)，則m、n的大小關(guān)系為________．【答案】　m＜n　解析： 考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性a＝∈(0,1)，函數(shù)f(x)＝ax在R上遞減．由f(m)＞f(n)得：mn.2. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1) 若f(0)≥1，求a的取值范圍； (2) 求f(x)的最小值； (3) 設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集．點(diǎn)撥： 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力．解：(1) 若f(0)≥1，則－a|a|≥1a≤－1.∴ a的取值范圍是(－∞，－1](2) 當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝3x2－2ax＋a2，f(x)min＝＝當(dāng)x≤a時(shí)，f(x)＝x2＋2ax－a2，f(x)min＝＝綜上f(x)min＝(3) x∈(a，＋∞)時(shí)，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2.當(dāng)a≤－或a≥時(shí)，Δ≤0，x∈(a，＋∞)；當(dāng)－＜a＜時(shí)，Δ＞0，得：討論得：當(dāng)a∈時(shí)，解集為(a，＋∞)；當(dāng)a∈時(shí)，解集為∪當(dāng)a∈時(shí)，解集為.綜上，當(dāng)a∈∪時(shí)，解集為(a，＋∞)，當(dāng)a∈時(shí)，解集為，當(dāng)a∈時(shí)，解集為∪.基礎(chǔ)訓(xùn)練1. x2＋x2. (－∞，－1)∪(－1,0)　解析：x＜0，x≠－1.3. －4　解析：函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(2 , 0)對稱，則f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)，∴ f＝f＝f，又f＝－f＝－f，f＋f＝2f＝－2f＝－4.4. 　解析：x∈[－1,2]時(shí)，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]時(shí)，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m＜0，x∈[－1,2]時(shí)，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m，2＋2m][－1,3]；m＜0，[2＋2m,2－m][－1,3]得0≤m≤或－1≤m0，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.例題選講例1　解： (1) ∵ f(x)是二次函數(shù)，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．∴ f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．(2) 方程f(x)＋＝0等價(jià)于方程2x3－10x2＋37＝(x)＝2x3－10x2＋37，則h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＜0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈時(shí)，h′(x)＞0，h(x)是增函數(shù)．∵ h(3)＝1＞0，h＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．變式訓(xùn)練　已知函數(shù)y＝f (x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T＝5，函數(shù)y＝f(x)(－1≤x≤1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x＝2時(shí)函數(shù)取得最小值－5.(1) 證明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)證明： ∵ f (x)是以5為周期的周期函數(shù)，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解： 當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，由題意可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－5(a＞0)，由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a＝2，∴ f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．(3)解： ∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴ f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，∴ 可設(shè)f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k＝－3，∴ 當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝－3x，從而當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝－3x，∴ 當(dāng)4≤x≤6時(shí)，有－1≤x－5≤1，∴ f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15，當(dāng)6＜x≤9時(shí)，1＜x－5≤4，∴ f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5，∴ f(x)＝點(diǎn)評：緊抓函數(shù)幾個(gè)性質(zhì)，將未知的轉(zhuǎn)化為已知的，注意函數(shù)圖象及端點(diǎn)值．例2　解： (1) 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2，對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x), ∴ f(x)為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，取x＝177。1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2) (解法1)設(shè)2≤x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)，必須f(x1)－f(x2)＜0恒成立．∵ x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．又∵ x1＋x2＞4, ∴ x1x2(x1＋x2)＞16.∴ a的取值范圍是(－∞，16]．(解法2)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2，顯然在[2，＋∞)為增函數(shù)．當(dāng)a＜0時(shí)，反比例函數(shù)在[2，＋∞)為增函數(shù)，∴ f(x)＝x2＋在[2，＋∞)為增函數(shù)．當(dāng)a＞0時(shí)，同解法1. (解法3)f′(x)＝2x－≥0，對x∈[2，＋∞)恒成立．∴ a≤2x3而y≤[2，＋∞)上單調(diào)增，最小值為16，∴ a≤16.點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及分類討論處理含參數(shù)問題．例3　解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.(2) f(x)＝當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，由a＞2，x≥a，得x＞1，從而x＞－1，又f′(x)＝2(x＋1)，故f(x)在x≥a時(shí)單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f＝；當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，故當(dāng)1＜x＜時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)的最小值為f(1)＝a－1；由－(a－1)＝＞0，知f(x)的最小值為a－1.點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)含參數(shù)最值的討論方法．變式訓(xùn)練　已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|.設(shè)a＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x－2|＝∴ f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1]和[2，＋∞)。 單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2]．① 當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f(x)是[0，a]上的增函數(shù)，此時(shí)f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，在[1，a]上是減函數(shù)，此時(shí)f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； ③ 當(dāng)a＞2時(shí)，令f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a2－2a－1＞0, 解得a＞1＋.若2＜a≤1＋，則f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；若a＞1＋，則f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a－2)．綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；當(dāng)1≤a≤1＋時(shí)，f(x)在[0，a]上的最大值是1；當(dāng)a＞1＋時(shí)，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a－2)．例4　解： 設(shè)y＝f(x)，(1) a＝1時(shí)，f(x)＝＋|x|，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝＋x為增函數(shù)，y的取值范圍為(1,1＋]．當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝－x，令t＝，0≤t≤1，則x＝t2－1，y＝－2＋，0≤t≤1，y的取值范圍為.∵ ＜1＋，∴x∈[1,1]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,1＋]．(2) 令t＝，則x＝t2－a，t≥0，y＝g(t)＝t＋a|t2－a|.① a＝0時(shí)，f(x)＝無單調(diào)減區(qū)間；② a＜0時(shí)，y＝g(t)＝at2＋t－a2，在上g(t)是減函數(shù)，則在上f(x)是減函數(shù)．∴a＜0不成立．③ a＞0時(shí)，y＝g(t)＝僅當(dāng)＜，即a＞時(shí)，在t∈時(shí)，g(t)是減函數(shù)，即x∈時(shí)，f(x)是減函數(shù)．∴n－m＝a－≤，即(a－2)(16a2＋a＋2)≤0. ∴a≤2.故a的取值范圍是.高考回顧1. 　解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或從定義域可直接得到．2. g(x)＝　解析： 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又因?yàn)閒(x)＋g(x)＝ex，所以g(x)＝.3. [－2,7]　解析：設(shè)x1∈[0,1]，則f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定義域?yàn)镽周期為1的函數(shù)，∴ 當(dāng)x2∈[1,2]時(shí)，f(x2)＝x1＋1＋g(x1＋1)＝1＋x1＋g(x1)＝1＋f(x1)∈[－1,6]，當(dāng)x2∈[2,3]時(shí)，f(x2)＝x1＋2＋g(x1＋2)＝2＋x1＋g(x1)＝2＋f(x1)∈[0,7]，∴ f(x)在區(qū)間[0,3]上的值域?yàn)閇－2,7]．4. 4　解析：AB＝2，直線AB的方程為x＋y＝2，在y＝x2上取點(diǎn)C(x，y)，點(diǎn)C(x，y)到直線AB的距離為，＝，|x＋x2－2|＝2，此方程有四個(gè)解．5. 解：(1) 當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，任意x1，x2∈R，x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)，∵ 2x1＜2x2，a＞0a(2x1－2x2)＜0,3x1＜3x2，b＞0b(3x1－3x2)＜0，∴ f(x1)－f(x2)＜0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，同理函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)．(2) f(x＋1)－f(x)＝a2x＋2b3x＞0，當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，x＞－，則x＞；當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，x＜－，則x＜.6. 解：(1) 由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b，顯然v(x)＝ax＋b在[20,200]是減函數(shù)，由已知得解得　故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝(2) 依題意并由(1)可得f(x)＝當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為6020＝1 200；當(dāng)20x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)≤2＝，