【正文】 nistic)部分 。 （ 2）其他 隨機 或 非確定性 （ nonsystematic)部分 ui。 即，給定收入水平 Xi ,個別家庭的支出可表示為兩部分之和 : (*) 01( | )i i i i iY E Y X u X ubb? ? ? ? ?Sample Regression Function， SRF 樣本回歸函數(shù) 問題： 能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù) PRF？ 回答：能 例 ： 在例 ， 表 2 . 1 . 3 家庭消費支出與可支 配收入的一個隨機樣本 Y 8 00 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1 1 2 2 1 1 5 5 1408 1595 1969 2078 2585 2530 總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。 核樣本的 散點圖 （ scatter diagram)： 樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為 樣本回歸線 （ sample regression lines）。 記樣本回歸線的函數(shù)形式為： iii XXfY 10 ??)(? bb ???稱為 樣本回歸函數(shù) （ sample regression function， SRF） 。 這里將 樣本回歸線 看成 總體回歸線 的近似替代 注意： 01( | )i i i i iY E Y X u X ubb? ? ? ? ? 樣本回歸函數(shù)的隨機形式 /樣本回歸模型 ： 同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式： 由于方程中引入了隨機項，稱為 樣本回歸模型 （ sample regression model） 。 01? ?? ? ??yi i i i iiy y u x uubb? ? ? ? ?i式 中 ， 稱 為 （ 樣 本 ） （ residual ） ，代 表 了 其 他 影 響 的 隨 機 因 素 的 集 合 ， 可 以 看 成 是 u 的殘 差估 計 量 。 ▼ 回歸分析的主要目的 ：根據(jù)樣本回歸函數(shù) SRF， 估計總體回歸函數(shù)PRF。 注意： 這里 PRF可能永遠無法知道。 即，根據(jù) 估計 01( | )Y E Y X u X ubb? ? ? ? ?01? ?? ? ?i i i i iy y u x ubb? ? ? ? ?四個概念 ? 總體回歸模型 ? 總體回歸函數(shù) ? 樣本回歸模型 ? 樣本回歸函數(shù) 四個概念 ? 總體回歸模型 ? 總體回歸函數(shù) ? 樣本回歸模型 ? 樣本回歸函數(shù) 01? ?? ? ?i i i i iy y u x ubb? ? ? ? ?01Y X ubb? ? ?01( | )E y x xbb??估計 Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 普通最小二乘法的推導 回歸的基本思想是從樣本去估計總體參數(shù)。 我們用 {(xi,yi): i=1, … ,n} 來表示一個隨機樣本，并假定每一觀測值滿足 yi = b0 + b1xi + ui。 。 估計方法 有多種，其種最廣泛使用的是 普通最小二乘法 （ ordinary least squares, OLS）。 . . . . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } } { { u1 u2 u3 u4 x y Population regression line, sample data points and the associated error terms 總體回歸線，樣本觀察點和相應誤差 E(y|x) = b0 + b1x Deriving OLS Estimates 普通最小二乘法的推導 ? 假定： E(u|x) = E(u) = 0 可以得到： ? Cov(x,u) = E(xu) = 0 since u = y – b0 – b1x， 所以有： E(y – b0 – b1x) = 0 E[x(y – b0 – b1x)] = 0 These are called moment （矩） restrictions Deriving OLS using . 使用矩方法推導普通最小二乘法 矩方法是將總體的矩限制應用于樣本中。目標是通過選擇參數(shù)值，使得在樣本中矩條件也可以成立。 The sample versions are as follows: ? ?? ? 0??0??11011101????????????niiiiniiixyxnxynbbbbDerivation of OLS 普通最小二乘法的推導 根據(jù)樣本均值的定義以及加總的性質(zhì)，可將第一個條件寫為 xyxy1010??or,??bbbb????Derivation of OLS 普通最小二乘法的推導 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??????????????????????niiiniiniiiniiiniiiixxyyxxxxxyyxxxyyx1211111111??0??bbbb第二個條件： So the OLS estimated slope is 因此 OLS估計出的斜率為 ? ? ? ?? ?? ?112211p rov i d ed t h 0?at niiinniiiix x y yxxxxb????????????思考：條件說明什么？ 斜率估計量等于樣本中 x 和 y 的協(xié)方差除以 x的方差。若 x 和 y 正相關則斜率為正，反之為負。 Alternate approach to derivation 推導方法二 ? ? ? ????????niiinii xyu121012 ??? bb? 給定一組樣本觀測值（ Xi, Yi）（ i=1,2,…n ）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值 . ? 普通最小二乘法 （ Ordinary least squares, OLS）給出的判斷標準是：二者之差的平方和最小 ?? ????? n iiin i XYYYQ121021))??(()?( bb方程組（ *）稱為 正規(guī)方程組 （ normal equations） ? 為什么不是殘差的其他某個函數(shù)的最小化？ Using Eviews for OLS regressions 使用 Eviews 進行 OLS回歸 ? 我們已經(jīng)推導出公式計算參數(shù)的 OLS估計值，所幸的是我們不必親手去計算它們。 ? 在 Eviews中進行回歸非常簡單， 例 工資和受教育程度 ? 526個樣本的 OLS估計結(jié)果： 0. 93 0. 54w ag e e du c? ? ?例 投票結(jié)果和競選支出 ? 1988年美國眾議院 173次兩黨競選的選舉結(jié)果： ? voteA為候選人 A所得票數(shù)的百分比； ? shareA為候選人 A在競選支出中所占百分比 1 4v ote A share A?? obsno salar y roe salar y hat uhat 1 1095 1224 129 2 1001 1 165 164 3 1 122 1398 276 4 578 1072 494 5 1368 1219 149 6 1 145 20 1333 188 7 1078 1267 189 8 1094 1265 171 9 1237 1 157 80 10 833 1450 617 11 567 1442 875 12 933 1459 526 13 1339 1237 102 14 937 1375 439 15 201 1 2022 6 : CEO Salary and Return on Equity 例：首席執(zhí)行官的薪水和 資本權益報酬率 Example: CEO Salary and Return on Equity 例： CEO的薪水和 資本權益報酬率 ? 變量 salary衡量了以 1000美元為單位的年薪，其最小值，均值和最大值分別如下： (min, mean, max)=(223, 1281, 14822). ? Roe＝凈收入 /所有者權益，為三年平均值。其最小值，均值和最大值分別為： （ , ,) salary 對 roe的回歸方程為： 963. 191 01salary roe??Example: CEO Salary and Return on Equity 例： CEO的薪水和 資本權益報酬率 對估計量的解釋： – : 常數(shù)項的估計值衡量了當 roe為零時CEO的薪水。 – : b1 的估計值反應了 ROE若增加一個百分點工資將平均增加 18500美元。 – If roe=30, what is the estimated salary? 思考 :兩條線分別代表什么意思？ 擬合值和殘差 obsno salar y roe salar y hat uhat 1 1095 1224 129 2 1001 1 165 164 3 1 122 1398 276 4 578 1072 494 5 1368 1219 149 6 1 145 20 1333 188 7 1078 1267 189 8 1094 1265 171 9 1237 1 157 80 10 833 1450 617 11 567 1442 875 12 933 1459 526 13 1339 1237 102 14 937 1375 439 15 201 1 2022 6 Salaryhat是擬合值， uhat是殘差 第二章 簡單回歸模型（ 2） Chapter Outline 本章大綱 ? Definition of the Simple Regression Model 簡單回歸模型的定義 ? Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 推導普通最小二乘法的估計量 ? Mechanics of OLS OLS的操作技巧 ? Unites of Measurement and Functional Form 測量單位和回歸方程形式 ? Expected Values and Variances of the OLS estimators OLS估計量的期望值和方差 Algebraic Properties of OLS OLS的代數(shù)性質(zhì) （ 1） OLS 殘差和為零 （一階條件 ) ? 因此 OLS 的樣本殘差平均值也為零 .