《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2》ppt課件-文庫(kù)吧
2025-10-05 20:18 本頁(yè)面
【正文】 時(shí) ， f′ (x)=3x2≥ 0， ∴ f（ x） =x31在 R上是增函數(shù) ， ∴ a≤ 0. （ 2） 由 f′ (x)=3x2a≤ 0在 （ 1， 1） 上恒成立 . ∴ a≥ 3x2在 x∈ （ 1， 1） 上恒成立 . 又 ∵ 1＜ x＜ 1,∴ 3x2＜ 3,只需 a≥ 3. 當(dāng) a=3時(shí) ， f′ (x)=3(x21)在 x∈ (1,1)上 ， f′(x) ＜ 0, 即 f(x)在 （ 1， 1） 上為減函數(shù) ， ∴ a≥ 3. 故存在實(shí)數(shù) a≥ 3,使 f(x)在 （ 1， 1） 上單調(diào)遞減 . 探究提高 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便 ， 但應(yīng)注意 f′ (x)＞ 0(或 f′ (x)＜ 0)僅是 f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù) （ 或減函數(shù) ）的充分條件 ， 在 （ a， b） 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù) f(x)在 （ a,b)上遞增 （ 或遞減 ） 的充要條件應(yīng)是 f′ (x)≥ 0［ 或f′ (x)≤ 0］ ,x∈( a,b)恒成立 ， 且 f′ (x)在 （ a,b）的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 0， 這就是說(shuō) ， 函數(shù) f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f′ (x0)=0,甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處 f′ （ x0） =0,只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間 ， 因此 ， 在已知函數(shù) f(x)是增函數(shù) （ 或減函數(shù) ） 求參數(shù)的取值范圍時(shí) ， 應(yīng)令 f′ (x)≥ 0［ 或 f′ (x)≤ 0］恒成立 ， 解出參數(shù)的取值范圍 （ 一般可用不等式恒成立理論求解 ） ， 然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使 f′ (x)恒等于 0， 若能恒等于 0， 則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去 ，若 f′ (x)不恒為 0， 則由 f′ (x)≥ 0［ 或 f′ (x)≤ 0］恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定 . 知能遷移 1 已知 f(x)=exax1. （ 1） 求 f(x)的單調(diào)增區(qū)間； （ 2） 若 f(x） 在定義域 R內(nèi)單調(diào)遞增 ， 求 a的取值范 圍； （ 3） 是否存在 a,使 f(x)在 （ ∞ ， 0］ 上單調(diào)遞減 ，在 ［ 0， +∞ ） 上單調(diào)遞增 ？ 若存在 ， 求出 a的值；若不存在 ， 說(shuō)明理由 . 解 f′ (x)=exa. (1)若 a≤ 0， f′ (x)=exa≥ 0恒成立 ， 即 f(x)在 R上遞增 . 若 a＞ 0,exa≥ 0,∴e x≥ a,x≥ln a. ∴ f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (ln a,+∞) . （ 2） ∵ f（ x） 在 R內(nèi)單調(diào)遞增 ， ∴ f′ (x)≥ 0在 R上恒 成立 . ∴e xa≥ 0， 即 a≤e x在 R上恒成立 . ∴ a≤ （ ex） min， 又 ∵ ex＞ 0， ∴ a≤ 0. （ 3） 方法一 由題意知 exa≤ 0在 （ ∞ ， 0］ 上恒成立 . ∴ a≥e x在 （ ∞ ， 0］ 上恒成立 . ∵e x在 （ ∞ ， 0］ 上為增函數(shù) . ∴ x=0時(shí) ， ex最大為 1.∴ a≥ 1. 同理可知 exa≥ 0在 ［ 0， +∞ ） 上恒成立 . ∴ a≤e x在 ［ 0， +∞ ） 上恒成立 . ∴ a≤ 1， ∴ a=1. 方法二 由題意知 ， x=0為 f(x)的極小值點(diǎn) . ∴ f′ (0)=0,即 e0a=0,∴ a=1. 題型二 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 【 例 2】 設(shè) x=1與 x=2是函數(shù) f(x)=aln x+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn) . （ 1） 試確定常數(shù) a和 b的值； （ 2） 試判斷 x=1,x=2是函數(shù) f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) ， 并說(shuō)明理由 . （ 1） 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值為 0， 列方程組求解 . （ 2） 極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)的判斷應(yīng)根據(jù)極值點(diǎn)的定 義判斷 . 思維啟迪 解 （ 1） f′ (x)= +2bx+1, xa.3)2)(1(3231)3(32)()2(.61,32,0142)2(.0121)1(2xxxxxxxxxfbabafbaf?????????????????????????????函數(shù)定義域?yàn)?（ 0， +∞ ） ， 列表 x (0,1) 1 (1， 2) 2 (2,+∞) f′( x) 0 + 0 f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 ∴ x=1是 f（ x） 的極小值點(diǎn) ， x=2是 f（ x） 的極大值點(diǎn) . 此題屬于逆向思維 ， 但仍可根據(jù)函數(shù)極值 的步驟求解 ， 但要注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 ， 利 用這一關(guān)系 （ f ′ (x)=0） 建立字母系數(shù)的方程 ， 通過 解方程 （ 組 ） 確定字母系數(shù) ， 從而解決問題 . 探究提高知能遷移 2 已知函數(shù) f(x)=ax3+bx23x在 x=177。 1處取得極值 . （ 1） 討論 f(1） 和 f(1)是函數(shù) f(x)的極大值還是 極小值； （ 2） 過點(diǎn) A（ 0， 16） 作曲線 y=f(x)的切線 ， 求此切線方程 . 解 （ 1） f′ (x)=3ax2+2bx3,依題意 ， 3a+2b3=0 3a2b3=0 f′ (1)=f′ (1)=0,即 , 解得 a=1,b=0. ∴ f（ x） =x33x,f′ (x)=3x23=3(x+1)(x1). 令 f′ (x)=0,得 x=1,x=1. 若 x∈( ∞, 1)∪( 1,+∞) ， 則 f′ (x)＞ 0, 故 f(x)在 （ ∞, 1)上是增函數(shù) ， f(x)在 （ 1,+∞) 上是增函數(shù) . 若 x∈( 1,1)， 則 f′ (x)＜ 0
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1