統(tǒng)計推斷：估計與假設(shè)檢驗-文庫吧
2025-04-23 22:33 本頁面
【正文】 無偏性的直觀意義 根據(jù)樣本推得的估計值和真值可能不同，然而如果有一系列抽樣依據(jù)同一估計方法就可以得到一系列估計值，很自然會要求這些估計的期望值與未知參數(shù)的真值相等。這就是無偏性的概念，無偏性的直觀意義是：樣本估計量的數(shù)值在真值周圍擺動，即無系統(tǒng)誤差。 無偏性的定義 。的有偏估計，其偏差為，稱如果具有無偏性。的無偏估計，亦稱為參數(shù)成立，稱如果θθ?B i a sθθ?θθ?θ?θθ?θθ?EEE??? 的概率θ?的概率θ??的真值 ?的真值 有偏 無偏 例 43 ? ? 222 ??? ??? EsnxV arxE? ? ? ?nnnxV a rnxnVxV a rnnxEnxnExEsExEV a rExxniiniiniiniin???????????222121112221111111: )(,)(,????????????????????????????????????證明，試證），（中取一樣本從總體 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???????????????22221212221 1 122121221111112112111111?????????????????? ?????????? ?????????????? ? ? ??????????????? ???????????? ?????? ? ???nnnnnxEnnxEnxnxnxEnxxxxEnxxnExxnEsEnininininiininiiiiii無偏性是估計量最重要的優(yōu)良性，是一個重復(fù)抽樣的性質(zhì)，它只能保證估計量的期望等于真值。而且，對于總體某個待定參數(shù)，其無偏估計量不只一個。例如樣本中位數(shù)也是真實均值的無偏估計量。 （ 3）有效性 總體某個參數(shù) ?的無偏估計量往往不只一個，而且無偏性僅僅表明 的所有可能的取值按概率平均等于 ?，它的可能取值可能大部分與 ?相差很大。為保證 的取值能集中于 ?附近，必須要求 的方差越小越好。所以，提出有效性標(biāo)準(zhǔn)。 ??????有效性的定義 具有有效性。的有效估計量，亦稱稱為的方差達(dá)到最小，則切無偏估計量中，的一有效的估計量。如果在是比則稱的方差，的方差小于，總有樣本容量意的的無偏估計量，若對任都是和設(shè)θ?θθ?θ?θθ?θ?θ?θ?θθ?θ????n例 44 比較總體均值兩個無偏估計的有效性 ? ? ??? ???????????????????????????niiiniiniiniiniiiniixEaaxEnxVxEaaxaxnxx11211111 1 0 的有效性。和比較? ? ? ?? ?? ? ? ?xVnanaxVanaaaaaaaaaaaaaxVaaxVniiniiniijijiniijijiniijijiniiniiniiniinii????????? ?????????????????????????????????????????????????????????22121212221212222221212212,21111利用不等式無偏有效估計量的意義 （ 1）一個無偏有效估計量的取值在可能范圍內(nèi)最密集于??附近。換言之，它以最大的概率保證估計量的取值在真值 ?附近擺動。 （ 2）可以證明，樣本均值是總體數(shù)學(xué)期望的有效估計量。 （ 4）最優(yōu)線性無偏估計量 如果一個估計量是線性的和無偏的，并且在參數(shù)的所有線性無偏估計量中，這個估計量的方差最小，則稱這個估計量是最優(yōu)線性無偏估計量（ best linear unbiased extimator， BLUE）。 （ 5）一致性 “依概率收斂”的定義 若存在常數(shù) a，使對于任何 ε0，有 則稱隨機變量序列 {ξn}依概率收斂于 a. ? ? 1l im nn Pa ???? ? ? ?一致性 一致性既是從概率又是從極限性質(zhì)來定義的，因此只有樣本容量較大時才起作用。 ? ?具有一致性。一致估計量，的為參數(shù)，則稱，若，即任意給定依概率收斂于時，若當(dāng)θ?θθ?1θθ? l i m0θθ?n????????? Pn? 一致性作為評價估計量好壞的一個標(biāo)準(zhǔn)，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)家在無偏性和一致性之間更偏重選擇一致性。 ? 雖然一個一致估計量可能在平均意義上與真值不同，但是當(dāng)樣本容量加大時，它會變得與真值十分接近，即有偏的一致估計量具有大樣本下的無偏性。同時，根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng) n增大時，方差會變得很小，所以一致估計量具有大樣本下的“無偏性”和“有效性”。 區(qū)間估計 ? 區(qū)間估計就是以一定的可靠性給出被估計參數(shù)的一個可能的取值范圍。 ? 一般的，假定隨機變量 X服從某一概率分布，若要對其參數(shù)進(jìn)行估計，選取容量為 n的隨機樣本，找出兩個統(tǒng)計量?1(x1,…,x n)與 ?2 (x1,…,x n)，使 P(
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