統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)-展示頁(yè)
2025-05-25 22:33本頁(yè)面
【正文】 ?^處達(dá)到最大值，則稱 ?^ 是 θ的最大似然估計(jì)。的函數(shù)，稱成參數(shù)可以看是常數(shù)，所以由于每一取定的樣本值：的聯(lián)合分布分布密度是樣本的獨(dú)立性，則是未知參數(shù)。,。 c、似然法函數(shù) ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????????niiniinniinnxxxxxxxxxxxxxxxxPLPPLLLxxF1212112121。（連乘 ——表示一次獨(dú)立地抽取各個(gè)樣本觀察值） ? 對(duì)于連續(xù)型變量，就是要選擇 ?^使 ?(x1)?(x2)...?(xn)最大。最大似然法是選擇這樣的估計(jì)量 ?^作為 ?的估計(jì)值，以便使觀察結(jié)果 (x1,……,x n)出現(xiàn)的可能性（概率）最大。 x6 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 分布 B 分布 A 概率 x b、最大似然法的概念 ? 上述事實(shí)誘導(dǎo)我們寧愿作出這樣的抉擇：將樣本最容易來(lái)自的總體當(dāng)作產(chǎn)生樣本的總體。顯然我們寧愿承認(rèn)樣本來(lái)自 A。 二、點(diǎn)估計(jì)方法 假定樣本不是來(lái)自 B就是來(lái)自 A。 ? 舉例說(shuō)假定我們抽取到（ x1,x2,……,x8 ），知道它來(lái)自正態(tài)總體，且總體的方差是了解的，但是總體的均值未知。 ? 矩法比較直觀，求估計(jì)量時(shí)有時(shí)也比較直接，但它求出的估計(jì)量往往不夠理想。具體作法是： 以一樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量； 以樣本矩的函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩同樣函數(shù)的估計(jì)量。然而由于各種建立原則的合理性，所以三種方法在研究中都經(jīng)常使用。 ? 常用的點(diǎn)估計(jì)方法有三種：矩法、最大似然法、最小二乘法。 例如隨機(jī)變量 X服從某一未知均值和方差的正態(tài)分布，若有來(lái)自該正態(tài)總體的一隨機(jī)樣本，則這些樣本數(shù)據(jù)的平均值就為總體的均值 ux的點(diǎn)估計(jì)值， 為點(diǎn)估計(jì)量。第 4章 統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)推斷的含義 點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的特征 區(qū)間估計(jì)方法 假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)推斷的含義 ? 統(tǒng)計(jì)推斷研究的是總體與來(lái)自總體的樣本之間的關(guān)系，根據(jù)來(lái)自總體的樣本對(duì)總體的種種特征做出判斷。 ? 參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)孿生分支 ? 參數(shù)估計(jì)問(wèn)題包括點(diǎn)估計(jì)（ point estimation）和區(qū)間估計(jì)（ interval estimation). ? 假設(shè)檢驗(yàn)包括置信區(qū)間法和顯著性檢驗(yàn) 點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的特征 一、點(diǎn)估計(jì)的含義 所謂點(diǎn)估計(jì)就是給出被估計(jì)參數(shù)的一個(gè)特定的估計(jì)值。 nXX i /?? 點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的特征 一、點(diǎn)估計(jì)的含義 ? 點(diǎn)估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)槠渲惦S樣本的不同而不同。 ? 對(duì)同一樣本根據(jù)三種方法估計(jì)同一參數(shù)，所獲得的估計(jì)結(jié)果可能互不相同。 二、點(diǎn)估計(jì)方法 （ 1）矩法 ? 矩法是求估計(jì)量最古老的方法。 ? 這種方法最常見(jiàn)的應(yīng)用是用樣本平均數(shù) 估計(jì)總體數(shù)學(xué)期望，用樣本方差 S2估計(jì)總體的方差。 x矩法點(diǎn)估計(jì)的例題 例 41 某燈泡廠某天生產(chǎn)了一大批燈泡，從中抽取了 10個(gè)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，獲得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)），問(wèn)該天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命是多少？ 抽樣序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10壽命（小時(shí)） 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200計(jì)算得樣本算術(shù)平均數(shù) =1147 ，作為總體數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值? ?? ?xxxx d xdxxdxxxxxxxx n2?,2?2021111,001,22001????????????????????????? ???????????????????????在矩法下又是多少？問(wèn)在矩法下其它取自均勻分布若樣本例???（ 2）最大似然法 (Maximum Likelihood Estimation) a、一個(gè)重要的事實(shí) ? 不同的總體會(huì)產(chǎn)生不同的樣本，對(duì)于某一特定的樣本，在不了解產(chǎn)生它的總體究竟為何物的觀察者眼中，它來(lái)自一些總體的可能性要比來(lái)自另一些總體的可能性大，即一些總體更容易產(chǎn)生出我們所觀察到的樣本。如下圖所示。如果樣本來(lái)自 B，觀察到它的可能性非常??；真正的母體若是 A，得到樣本的可能性很大。是樣本“替”我們“選擇”了 A。 ? 現(xiàn)在要根據(jù)從總體 ?中抽取得到的樣本 (x1,……,x n)對(duì)總體中的未知數(shù) ?進(jìn)行估計(jì)。 ? 對(duì)于離散型變量，就是要選擇 ?^使 p(x1)p(x2)… p(xn)最大。注意 ?(xi)是隨機(jī)變量在 xi附近取值的概率，相當(dāng)于離散型的 p(xi)。,。,。??????????????????則似然函數(shù)的概率函數(shù)為離散型隨機(jī)變量，它設(shè)為樣本的似然函數(shù)。由于樣本，其中度函數(shù)是，分布密的分布函數(shù)是為連續(xù)型隨機(jī)變量，它設(shè)d、最大似然法的定義和估計(jì)方法 定義 如果 L(x1, x2,… ， xn。 為了取得 ?的最大似然估計(jì)，必須使似然函數(shù) L達(dá)到最大值。這樣使 LnL達(dá)到最大來(lái)估計(jì) ?為計(jì)算帶來(lái)了許多方便。 注意： 當(dāng)不只一個(gè)參數(shù)需要估計(jì)時(shí)，應(yīng)將 LnL分別對(duì)不同參數(shù)求偏導(dǎo)，然后解似然方程組 最大似然估計(jì)法對(duì)方差的估計(jì)往往是有偏估計(jì)量，以后對(duì)線性模型估計(jì)時(shí)也是如此。 ? 這是本課程研究的重點(diǎn)問(wèn)題，在以后各章中將詳盡地闡述它的原理、步驟、特性和優(yōu)越處。 ? 點(diǎn)估計(jì)量的一些統(tǒng)計(jì)性質(zhì) （ 1）線性；（ 2）無(wú)偏性；（ 3）有效性； （ 4）最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量（ BLUE）； （ 5）一致性 （ 1）線性 ? 若估計(jì)量是樣本觀察值的線性函數(shù)，則稱該估計(jì)量是線性估計(jì)量 ? 樣本均值是一個(gè)線性估計(jì)量 （ 2）無(wú)偏性 無(wú)偏性的直觀意義 根據(jù)樣本推得的估計(jì)值和真值可能不同，然而如果有一系列抽樣依據(jù)同一估計(jì)方法就可以得到一系列估計(jì)值，很自然會(huì)要求這些估計(jì)的期望值與未知參數(shù)的真值相等。 無(wú)偏性的定義 。的無(wú)偏估計(jì)，亦稱為參數(shù)成立，稱如果θθ?B i a sθθ?θθ?θ?θθ?θθ?EEE??? 的概率θ?的概率θ??的真值 ?的真值 有偏 無(wú)偏 例 43 ? ? 222 ??? ??? EsnxV arxE? ? ? ?n
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