計(jì)算方法第1章緒論-文庫吧
2025-04-23 04:10 本頁面
【正文】 按上列四種算法計(jì)算，其結(jié)果如下 表 11所示。 ??? ??14 1 2 3 4 序 號 算 式 計(jì) 算 結(jié) 果 5/72 ? 12/172 ?表 11 1 6???????0 0 5 0 7 9 71 ?1 6 6 6 6 ??? ?6???????6???????15 ? 由 表 11可見，按不同算式和近似值計(jì)算出的結(jié)果各不相同，有的甚至出現(xiàn)了負(fù)值，這真是差之毫厘，謬以千里?？梢娊浦岛退惴ǖ倪x定對計(jì)算結(jié)果的精確度影響很大。 ? 因此，在研究算法的同時(shí)，還必須正確掌握誤差的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念，否則，一個(gè)合理的算法也可能會得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果。 16 167。 2 誤差的種類及其來源 數(shù)值計(jì)算中，誤差主要有如下幾種： 模型誤差 在建模（建立數(shù)學(xué)模型）過程中，欲將復(fù)雜的物理現(xiàn)象抽象、歸納為數(shù)學(xué)模型，往往只得忽略一些次要因素的影響，而對問題作某些必要的簡化。這樣建立起來的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上必定只是所研究的復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似的描述，它與真正客觀存在的實(shí)際問題之間有一定的差別，這種誤差稱為“模型誤差”。 17 觀測誤差 在建模和具體運(yùn)算過程中所用到的一些初始數(shù)據(jù)往往都是通過人們實(shí)際觀察、測量得來的，由于受到所用觀測儀器、設(shè)備精度 的限制，這些測得的數(shù)據(jù)都只能是近似的，即存在著誤差，這種誤差稱為“觀測誤差”或“初值誤差”。 截?cái)嗾`差 在不少數(shù)值運(yùn)算中常遇到超越計(jì)算，如微分、積分和無窮級數(shù)求和等，它們須用極限或無窮過程來求得。然而計(jì)算機(jī)卻只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，因此需將解題過程化為一系列有限 的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算。這樣就要對某種無窮過程進(jìn)行“ 截?cái)?” ，即僅保留無窮過程的前段有限序列而舍棄它的后段。 18 這就帶來了誤差，稱它為“截?cái)嗾`差”或“方法誤差”。例如，函數(shù) sinx 和 ln (1+x)可分別展開為如下的無窮冪級數(shù)： ?????? !7!5!3s i n753 xxxxx() )11(432)1l n (432?????????xxx xxx ?() 19 則由于它們的第四項(xiàng)和以后各項(xiàng)都舍棄了，自然產(chǎn)生了誤差。這就是由于截?cái)嗔藷o窮級數(shù)自第四項(xiàng)起。 !5!3s i n53 xxxx ???() () 若取級數(shù)的起始若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似，例如取 32)1l n (32 xxxx ????20 的后段的產(chǎn)生的截?cái)嗾`差。 （ )和 ()的截?cái)嗾`差是很容易估算的，因?yàn)閮缂墧?shù) ()和 () 都是交錯(cuò)級數(shù)，當(dāng) x1時(shí)的各項(xiàng)的絕對值又都是遞減的，因此，這時(shí)它們的截?cái)嗾`差 可分別估計(jì)為： ? ?xR4!7)(74xR x ?? ? 4 44 xR x ?和 21 舍入誤差 在數(shù)值計(jì)算過程中， 由于受計(jì)算機(jī)機(jī)器字長的限制，它所能表示的數(shù)據(jù)只能是有限位數(shù)，這時(shí)就需把數(shù)據(jù)舍入成一定位數(shù)的近似的有理數(shù)來代替。 如 ???1 66 66 61!314 14 21 35 1 41 59 26 ?????由此引起的誤差稱為 “舍入誤差” 。 22 數(shù)學(xué)模型一旦建立，進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所要考慮和分析的就是截?cái)嗾`差 和舍入誤差了。在計(jì)算機(jī)上經(jīng)過千百次運(yùn)算后所積累起來的總誤差不容忽視，有時(shí)可能會大得驚人，甚至到
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