湖南卷-理科數(shù)學(xué)試題及答案20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案-湖南卷-文庫(kù)吧
2025-08-02 18:27 本頁(yè)面
【正文】 至少有 1 人面試合格的概率 。 （Ⅱ）簽約人數(shù) ? 的分布列和數(shù)學(xué)期望 . 解 用 A， B， C 分別表示事件甲、乙、丙面試合格。由題意知 A， B， C 相互獨(dú)立，且 P（ A）＝ P（ B）＝ P（ C）＝ 12 . （Ⅰ）至少有 1 人面試合格的概率是 3171 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .28P A B C P A P B P C? ? ? ? ? ? （Ⅱ） ? 的可能取值為 0， 1， 2， 3. ( 0) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C? ? ? ? ? ＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C?? ＝ 3231 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8? ? ? ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C? ? ? ? ? = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C?? = 3331 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8? ? ? 1( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P A B C P A P B P C? ? ? ? ? 1( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P A B C P A P B P C? ? ? ? ? 所以， ? 的分布列是 ? 0 1 2 3 P 38 38 18 18 ? 的期望 3 3 1 10 1 2 3 1 .8 8 8 8E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17.（本小題滿分 12 分） 如圖所示，四棱錐 P－ ABCD 的底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的菱形，∠ BCD＝ 60176。， E 是CD 的中點(diǎn)， PA⊥底面 ABCD， PA＝ 2. （Ⅰ）證明：平面 PBE⊥平面 PAB。 （Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小 . 解 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié) BD，由 ABCD 是菱形且∠ BCD=60176。知，△ BCD 是等邊三角形。因?yàn)?E 是 CD 的中點(diǎn)，所以 BE⊥ CD，又 AB∥ CD，所以 BE⊥ AB。又因?yàn)?PA⊥平面 ABCD， BE? 平面 ABCD，所以 PA⊥ BE。而 PA? AB=A，因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面 PAB. （Ⅱ）延長(zhǎng) AD、 BE 相交于點(diǎn) F，連結(jié) PF。過(guò)點(diǎn) A 作 AH⊥ PB 于 H，由（Ⅰ）知平面 PBE⊥平面 PAB，所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ ABF 中，因?yàn)椤?BAF＝ 60176。，所以 AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△ PAF 中，取 PF 的中點(diǎn) G，連接 AG. 則 AG⊥ HG，由三垂線定理的逆定理得， PF⊥ HG. 所以∠ AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（銳角） . 在等腰 Rt△ PAF 中， 2 G P A?? 在 Rt△ PAB 中， 222 2 5 .55A P A B A P A BAH PB A P A B??? ? ? ?? 所以，在 Rt△ AHG 中， 25 105si n .52AHAGH AG? ? ? ? 故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小是 10arcsin .5 解法二 如圖所示，以 A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。則相 關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， 3 3 1 3( , ,0), ( , ,0),2 2 2 2CDP（ 0， 0， 2）， E(1, 23 ,0) （Ⅰ）因?yàn)?3(0, ,0)2BE ? ，平面 PAB 的一個(gè)法向量是 0 (0,1,0)n ? ，所以 0BE n和 共線 .從而 BE⊥平面 PAB. 又因?yàn)?BE? 平面 PBE，故平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ )易知 3(1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E? ? ? ， ） ， 13( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D? ? ? 設(shè) 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 PBE的一個(gè)法向量，則由 110,0n PBn BE? ????????得 1 1 11 1 10 2 0 ,30 0 0.
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