湖南卷-理科數(shù)學(xué)試題及答案20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案-湖南卷(參考版)
2024-09-09 18:27本頁面
【正文】 （Ⅱ）若不等式 1(1 )na en ???對任意的 N*n? 都成立（其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)） . 求 ? 的最大值 . 解 （Ⅰ）函數(shù) f(x)的定義域是 ( 1, )? ?? ， 22222 l n ( 1 ) 2 2 ( 1 ) l n ( 1 ) 2( ) .1 ( 1 ) ( 1 )x x x x x x xfx x xx? ? ? ? ? ?? ? ?? ??′ 設(shè) 2( ) 2( 1 ) l n( 1 ) 2 ,g x x x x x? ? ? ? ?則 ( ) 2 ln (1 ) 2 .g x x? ? ?′ 令 ( ) 2 ln( 1 ) 2 ,h x x x? ? ?則 22( ) 2 .11 xhx xx?? ? ???′ 當(dāng) 10x? ? ? 時， ( ) 0, ( )h x h x?′ 在（－ 1， 0）上為增函數(shù)， 當(dāng) x＞ 0 時， ( ) 0, ( )h x h x?′ 在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 所以 h(x)在 x=0 處取得極大值，而 h(0)=0,所以 ( ) 0( 0)g x x??′ ，函數(shù) g(x)在 ( 1, )? ?? 上為減函數(shù) . 于是 當(dāng) 10x? ? ? 時， ( ) (0) 0,g x g?? 當(dāng) x＞ 0 時， ( ) (0) x g?? 所以，當(dāng) 10x? ? ? 時， ( ) 0, ( )f x f x?′ 在（－ 1， 0）上為增函數(shù) . 當(dāng) x＞ 0 時， ( ) 0, ( )f x f x?′ 在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－ 1， 0）， 單調(diào)遞減區(qū)間為 (0, )?? . （Ⅱ）不等式 1(1 )na en ???等價于不等式 1( ) ln(1 ) n? ? ?由 111n??知， 1 .1ln(1 )ann??? 設(shè) ? ?11( ) , 0 , 1 ,ln (1 )G x xxx? ? ??則 222 2 2 21 1 ( 1 ) l n ( 1 )( ) .( 1 ) l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )x x xGx x x x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?′ 由（Ⅰ）知， 22ln (1 ) 0,1 xx x? ? ?? 即 22(1 ) ln (1 ) x x? ? ? ? 所以 ? ?( ) 0, 0,1 ,G x x??′ 于是 G(x)在 ? ?0,1 上為減函數(shù) . 故函數(shù) G（ x）在 ? ?0,1 上的最小值為 1(1) 2G ?? 所以 a 的最大值為 1 ? 。） 則 12xx、 是方程（ （ II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由 . 解 （ I）如圖， AB=40 2 ， AC=10 13 ， 26, s in .26BAC ??? ? ? 由于 0 ? 90 ，所以 cos? = 22 6 5 2 61 ( ) .2 6 2 6?? 由余弦定理得 BC= 22 2 c os 10 5 .A B A C A B A C ?? ? ? ? ? 所以船的行駛速度為 10 5 15 523? （海里 /小時） . （ II）解 法一 如圖所示，以 A 為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點 B、 C 的坐標(biāo)分別是 B（ x1， y1） , C（ x2， y2）， BC 與 x 軸的交點為 D. 由題設(shè)有， x1=y1= 22 AB=40， 2 c os 10 13 c os ( 45 ) 30x A C CA D ?? ? ? ? ?, 2 si n 1 0 1 3 si n ( 4 5 ) 2 0y A C CA D ?? ? ? ? ? 所以過點 B、 C 的直線 l 的斜率 k= 20210? , 直線 l 的方程為 y=2x－ 40. 又點 E（ 0， － 55）到直線 l 的距離 d= | 0 5 5 4 0 | 3 5 7 .14?? ??? 所以船會進入警戒水域 . 解法二 如圖所示，設(shè)直線 AE 與 BC 的延長線相交于點 △ABC 中，由余弦定理得， 2 2 2c o s 2A B B C A CABC A B B C???? ? == 2 2 24 0 2 1 0 5 1 0 1 32 4 0 2 1 0 5? ? ? ? ???= 31010 . 從而 2 9 1 0s i n 1 co s 1 .1 0 1 0A B C A B C? ? ? ? ? ? ? 在△ ABQ 中，由正弦定理得， AQ=1040 2sin 10 40.s i n( 45 ) 2 2 102 10A B A B CABC??????? 由于 AE=5540=AQ，所以點 Q 位于點 A 和
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