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普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷理)數(shù)學(xué)試題及答案(參考版)

2025-01-17 11:37本頁(yè)面
  

【正文】 (Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響 解:(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0 99,解得x=19 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿(mǎn)足方程: 解得y=4,故z=4+3 即兩種方案的用水量分別為19與4+3 因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少 (II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類(lèi)似(I)得,(*)于是+ 當(dāng)為定值時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 此時(shí) 將代入(*)式得 故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為 , 最少總用水量是 當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷) 這說(shuō)明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量 21 (本小題滿(mǎn)分14分)已知橢圓C1:,拋物線C2:,且CC2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn) (Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值,并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;(Ⅱ)是否存在、的值,使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上?若存在,求出符合條件的、的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 解:(Ⅰ)當(dāng)AB⊥x軸時(shí),點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),所以m=0,直線AB的方程為:    x =1,從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,)或(1,-) 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上 所以,即 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),該焦點(diǎn)不在直線AB上 (II)解法一: 假設(shè)存在、的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上,由(I)知直線AB的斜率存在,故可設(shè)直線AB的方程為 由消去得………………①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2), 則x1,x2是方程①的兩根,x1+x2=   由 消去y得 ………………②因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以,即 代入②有 即 …………………③由于x1,x2也是方程③的兩根,所以x1+x2= 從而= 解得   ……………………④又AB過(guò)C\、C2的焦點(diǎn),所以,則 …………………………………⑤由④、⑤式得,即 解得于是因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以  或 由上知,滿(mǎn)足條件的、存在,且或, 解法二: 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為,     因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn),又過(guò)C2的焦點(diǎn),所以 即   ……①由(Ⅰ)知,于是直線AB的斜率, ……②且直線AB的方程是,所以 ……③又因?yàn)椋? ……④ 將①、②、③代入④得   ……………⑤  因?yàn)?,所?   …………⑥將②、③代入⑥得  ……………⑦由⑤、⑦得即解得 將代入⑤得   或 由上知,滿(mǎn)足條件的、存在,且或?!  。↖I) 證明: (I) 先用數(shù)學(xué)歸納法證明,n=1,2,3,… (i) 當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立 (ii) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即 因?yàn)?
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