【正文】 斂級數(shù)收斂 ???0n na收斂 證：由題意可知??nlim 存在Anan ? ??nlim ?nS ??nlim ?? ? ??nk kk Saak1 1 )( 存在 而 ?nS )()(3)(2)( 1231201 ????????? nn aanaaaaaa ? = ????10nk kn ana 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 135 因此， ????10nk kann Sna? ??nlim ????10nk ka ??nlim?nna ??nlim ?nS SA? 于是級數(shù) ???0n na= SA? 是收斂的 二、 主要用判別法討論級數(shù)的斂散性 例 1． 設(shè)級數(shù) ???1n)0( ?nn aa 收斂，則 ???1n nan 收斂 解： nan )1(21 22 nana nn ???（幾何平均值 ? 算術(shù)平均值） 已知 ???1n 收斂故收斂收斂 )1(211 211 2 na，n，a nnnn ??????? 再用比較判別法，可知 ???1n nan 收斂 例 2． 正項數(shù)列 ??na 單調(diào)減少，且 ???1nnna)1(? 發(fā)散， 問 ???1nnna )11( ? 是否收斂？并說明理由。 解： 知根據(jù)萊布尼茲判別法可如果存在又單調(diào)減少 ,0l i m,0 ?????? a，aa，a nnn? ???1n ( 1 ) 0 ,n naa? ? ?收 斂 , 與 假 設(shè) 矛 盾 , 這 樣， nnnn aaaa )11()11(,11111 ??????? 由等比級數(shù) ???1nna )11( ? 收斂和比較判別法可知 ???1nnna )11( ? 收斂。 例 3． 設(shè) ?? 40 tan? xdxa nn （ 1）求 ???1n naa nn 2?? 的值。 （ 2）證明：對任意正常數(shù) ,0?? ???1n ?nan 收斂。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 136 證明：（ 1） naa nn 2?? n1? ? ?40 2 )ta n1(ta n? dxxxn n1? ?40 tantan? xxdn)1( 1?? nn ???1n naa nn 2?? =???1n )1(1?nn =1 （ 2） ?? 40 tan? xdxa nn 1 20 1nt dtt? ?? ???10 11ndttn ?nan11)1( 1 ??? ?? nnn ??? ,11?? ???1n 11??n 收斂，由比較判別法可知 ???1n ?nan 收斂。 例 4． 設(shè)有方程 并證明證明方程有唯一正實根正整數(shù)其中 ,01 nn x，nnxx ??? 當 ? 1 時，級數(shù) ???1n?nx 收斂。 : ( ) 1nnf x x nx? ? ?證 記 10 ( ) 0nx f x n x n? ??? ? ? ?當 時 , ? ?( ) 0 , .nfx ??故 在 上 單 調(diào) 增 加 ( 0) 1 0 , ( 1 ) 0 ,nnf f n? ? ? ? ?而 由 連 續(xù) 函 數(shù) 的 介 值 定 理 知 10n nx n x x? ? ? 存 在 唯 一 正 實 根 1 0 0nn n nx n x x? ? ? ?由 與 知 1 10,nnn xx nn?? ? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 137 11 0 ( )nx n??? ? ? ?故 當 時 , 11()n n????而 正 項 級 數(shù) 收 斂 , 所以當 ? 1 時，級數(shù) ???1n?nx 收斂。 167。 冪級數(shù) （甲）內(nèi)容要點 一、函數(shù)項級數(shù)及其收斂域與和函數(shù)（數(shù)學(xué)一） 1． 函數(shù)項級數(shù)的概念 設(shè) )(xun ),3,2,1( ??n 皆定義在區(qū)間 I 上，則 ???1n)(xun 稱為區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù)。 2． 收斂域 設(shè) ??0x ，如果常數(shù)項級數(shù) ???1n)( 0xun 收斂，則稱 0x 是函數(shù)項級數(shù) ???1n)(xun 的收斂點，如果???1n )( 0xun 發(fā)散，則稱 0x 是 ???1n )(xun 的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù) ???1n )(xun 的所有收斂點構(gòu)成的集合就稱為收斂域。所有發(fā)散點構(gòu)成的集合你為發(fā)散域。 3． 和函數(shù) 在 ???1n)(xun 的收斂域的 每 一點都有和，它與 x 有關(guān)，因此 ?)(xS ???1n)(xun ， ?x 收斂域 稱 )(xS 為函數(shù)項級數(shù) ???1n)(xun 的和函數(shù)，它的定義域就是 函數(shù)項級數(shù)的收斂域。 二、 冪級數(shù) 及其收斂域 1． 冪級數(shù) 概念 ???0n na nxx )( 0? 稱為 )( 0xx? 的 冪級數(shù) ， ),2,1,0( ??nan 稱為冪級數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當 00?x該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 138 時， ???0n nanx 稱為 x 的冪級數(shù)。 一般討論 ???0n nanx 有關(guān)問題 ， 作平移替換就可以得出有關(guān) ???0n na nxx )( 0? 的有關(guān)結(jié)論。 2．冪級數(shù)的收斂域 冪級數(shù) ???0n nanx 的收斂域分三種情形： （ 1） 收斂域為 ),( ???? ，亦即 ???0n nanx 對每一個 x 皆收斂， 我 們稱它的收斂半徑 ???R （ 2） 收斂域 僅 為原點，除原點外冪級數(shù) ???0n nanx 皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑 0?R 。 （ 3） 收斂域為 ? ? ? ? ? ? R，RRRRRRRR 我們稱它的收斂半徑為中的一種或或或 ,),( ???? )0( ????R 所以求冪級數(shù) 的收斂半徑 R 非常重要，（ 1）（ 2）兩種情形的收斂域就確定的。而（ 3）的情形，還需討論 R? 兩點上的斂散性。 1 1l im ( ) l im ( ) , ( ,n n nnnna l a l R lal?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如 果 包 括 或 包 括 則 收 斂 半 徑 若 0 , 0 ) ,R l R? ? ? ? ?則 若 則 如 果 上 述 兩 極 限 不 成 立 , 那 么 就 要 用 其 它 方 法 求 收 斂 .半 徑 , 后 面 有 所 討 論 三、 冪級數(shù)的性質(zhì) 1． 四則運算 設(shè) ???0n nanx ??? ???? 0 21 ),(。),( nnn RxxgxbRxxf ),m i n ()()()())((),m i n (),()()(2100000210RRxxgxfxbababaxbxaRRxxgxfxbannnknknnnnnnnnnnn???????????????????????????則該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 139 2. 分析性質(zhì) 設(shè)冪級數(shù) ???0n nanx 的收斂半徑 R 0， S(x ) = ???0n nanx 為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì) 。 （ 1） 且有逐項求導(dǎo)公式內(nèi)可導(dǎo)在 ，RRxS ),()( ? ?? )(xS ? ?? ??????? ???? 0 110 )()( n nnnnnnnn xnaxaxa 求導(dǎo)后冪級數(shù)的收斂半徑不變，因此得出 公式為內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)在 ，RRxS ),()( ? ),3,2,1(,)1()1()()( ?? ?????? ??? ? kRxxaknnnxS kn knnk （ 2） 內(nèi)有逐項積分公式在 ),()( RRxS ? ? ? ?? ?? ?? ???? 0 0 0 10 1)( n x n nnnnx xn adttadttS 且這個冪級數(shù)的收斂半徑也不變。 （ 3） 若 ???0n nanx :)()( 則有下列性質(zhì)成立在 ，RRxxS ??? (i) ()00l i m ( ) ( l i m ( ) ( ) )nnnnx R x RnnS x a R S x a R????? ? ???? ? ???成 立 成 立 (ii) ))(1)((1)(0010 01 ? ?? ???????? ??????R nnnRnnn Rn adxxSRn adxxS 成立成立 (iii) ???? ??11 )(nnn RRxxna 不一定收斂在 11 ( ) . ( ( ) )nnn n a x S R S R? ???? ?????也 即 不 一 定 成 立 0 ()nnn a x x R R?? ???如 果 在 發(fā) 散 , 那 么 逐 項 求 導(dǎo) 后 的 級 數(shù) 11 ()nnn n a x x R R? ?? ??? 在 一 定 發(fā) 散 ,而 逐