【正文】 R? ? ? ? ?則 若 則 如 果 上 述 兩 極 限 不 成 立 , 那 么 就 要 用 其 它 方 法 求 收 斂 .半 徑 , 后 面 有 所 討 論 三、 冪級數(shù)的性質(zhì) 1． 四則運算 設(shè) ???0n nanx ??? ???? 0 21 ),(。 一般討論 ???0n nanx 有關(guān)問題 ， 作平移替換就可以得出有關(guān) ???0n na nxx )( 0? 的有關(guān)結(jié)論。函數(shù)項級數(shù) ???1n )(xun 的所有收斂點構(gòu)成的集合就稱為收斂域。 : ( ) 1nnf x x nx? ? ?證 記 10 ( ) 0nx f x n x n? ??? ? ? ?當(dāng) 時 , ? ?( ) 0 , .nfx ??故 在 上 單 調(diào) 增 加 ( 0) 1 0 , ( 1 ) 0 ,nnf f n? ? ? ? ?而 由 連 續(xù) 函 數(shù) 的 介 值 定 理 知 10n nx n x x? ? ? 存 在 唯 一 正 實 根 1 0 0nn n nx n x x? ? ? ?由 與 知 1 10,nnn xx nn?? ? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 137 11 0 ( )nx n??? ? ? ?故 當(dāng) 時 , 11()n n????而 正 項 級 數(shù) 收 斂 , 所以當(dāng) ? 1 時，級數(shù) ???1n?nx 收斂。 例 3． 設(shè) ?? 40 tan? xdxa nn （ 1）求 ???1n naa nn 2?? 的值。 2）條件收斂級數(shù)的正項或負(fù)項構(gòu)成的級數(shù)，即 ???1n 21 （ nu + nu ）或 ???1n 21 （ nu — nu ） 一定是發(fā)散的。 三、交錯級數(shù)及其萊布尼茲判別法 1．交錯級數(shù)概念 若 nu 0, ???1nnn u1)1( ?? 稱為交錯級數(shù)。 2) 當(dāng) A=0 時，若 ???1n nv收斂，則 ???1n nu收斂。調(diào)和級數(shù) ???1n n1 滿足 ??nlim 但,01?n ???1n n1 卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級數(shù)的必要條件??nlim 0?nu，而 ???1nnu 收斂性尚不能確定。） 2． 基本性質(zhì) （ 1） 如果 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ???? ??1 1 1 11 )(,n n n n nnnnnn n vbua，bvau，b，avu 且等于收斂則為常數(shù)皆收斂和 （ 2） 在級數(shù)中增加或減少或變更有限項則級數(shù)的收斂性不變 。 常數(shù)項級數(shù) （甲） 內(nèi)容要點 一、基本概念與性質(zhì) 1. 基本概念 無窮多個數(shù) ?? , 321 nuuuu 依次相加所得 到的表達(dá)式 ?? ????????? nn n uuuuu 3211稱為數(shù)項級數(shù)（簡稱級數(shù)）。例如： ?? ??????? ? 1)1(1111 n 歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和” 第一種 0)11()11()11( ???????? ?? 第二種 1)11()11()11(1 ???????? ?? 第三種 設(shè) Sn ???????? ? ?? 1)1(1111 則 ? ? S?????? ?11111 ,1 SS?? ,12 ?S 21?S 這種爭論說明對無窮多項相加，缺乏一種正確的認(rèn)識。 1) 什么是無窮多項相加？如何考慮？ 2) 無窮多項相加，是否一定有“和”？ 3) 無窮多項相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。 ?? ?? nk kn uS 1 1 2 3 nu u u u? ? ? ? （ ?,3,2,1?n ）稱為級數(shù)的前 n 項的部分和，該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 130 ? ? ),3,2,1( ??nSn 稱為部分和 數(shù) 列。 （ 3） 收斂級 數(shù)具有結(jié)合律，也即對級數(shù)的項任意加括號所得到的新級數(shù)仍收斂，而且其和不變。 ） 3．兩類重要的級數(shù) （ 1）等比級數(shù)（幾何級數(shù)） ???0n nar ? ?0?a 當(dāng) 1?r 時， ???0nnar ra??1 收斂 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 131 當(dāng) 1?r 時， ???0nnar 發(fā)散 （ 2） p 一級數(shù) ???11n pn 當(dāng) p1 時， ???11n pn收斂， 當(dāng) p? 1 時 ???11n pn發(fā)散 （注： p1 時， ???11n pn的和一般不作 要求，但后面用特殊的方法可知 ???1n 61 22 ??n ） 二、正項級數(shù)斂散性的判別法 ? ??,3,2,10 ?? nu n若 則 ???1n nu稱為正項級數(shù)，這時 ? ? ? ?nnn SnSS 所以?,3,2,11 ??? 是單調(diào) 加數(shù)列，它是否收斂就只取決于 nS 是否有上界，因此 ???1nnn Su ?收斂 有上界， 這是正項級數(shù) 比較判別法的基礎(chǔ)，從而也是正項級數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 132 3) 當(dāng) A=+? 時，若 ???1n nu收斂 ，則 ???1n nv收斂。 2． 萊布尼茲判別法 設(shè)交錯級數(shù) ???1nnn u1)1( ?? 滿足： 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 133 1） ??1nu nu ),3,2,1( ??n 2) ??nlim nu=0 ，則 ???1nnn u1)1( ?? 收斂，且 0???1nnn u1)1( ?? 1u 四、絕對收斂與條件收斂 1．定理 若 ???1nnu 收斂，則 ???1nnu 一定收斂；反之不然。 4．一類重要的級數(shù) 設(shè) ???1n ?nn 1)1( ?? 1） 當(dāng) ? 1 時， ???1n ?nn 1)1( ?? 是絕對收斂的 2） 當(dāng) 0? ? 1 時， ???1n ?nn 1)1( ?? 是條件收斂的 3） 當(dāng) ? ? 0 時， ???1n ?nn 1)1( ?? 是發(fā)散的 （乙） 典型例題 一、 主要用部分和數(shù)列的極限討論級數(shù)的斂散性 例 1． 判定下列級數(shù)斂散性，若收斂 并求級數(shù)的和。 （ 2）證明：對任意正常數(shù) ,0?? ???1n ?nan 收斂。 167。所有發(fā)散點構(gòu)成的集合你為發(fā)散域。 2．冪級數(shù)的收斂域 冪級數(shù) ???0n nanx 的收斂域分三種情形： （ 1） 收斂域為 ),( ???? ，亦即 ???0n nanx 對每一個 x 皆收斂， 我 們稱它的收斂半徑 ???R （ 2） 收斂域 僅 為原點，除原點外冪級數(shù) ???0n nanx 皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑 0?R 。),( nnn RxxgxbRxxf ),m i n ()()()())((),m i n (),()()(2100000210RRxxgxfxbababaxbxaRRxxgxfxbannnknknnnnnnnnnnn???????????????????????????則該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 139 2. 分析性質(zhì) 設(shè)冪級數(shù) ???0n nanx 的收斂半徑 R 0， S(x ) = ???0n nanx 為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì) 。 下列基本公式應(yīng)熟背： 01(1 ) 11nn xxx?? ???? 0( 2 ) !n xnx exn?? ? ? ??? 210( 3 ) ( 1 ) s i n ,( 2 1 ) !nnnx xxn ??? ? ? ? ? ??? 20( 4 ) ( 1 ) c o s ,( 2 ) !nnnx xxn?? ? ? ? ? ?? 10( 5 ) ( 1 ) l n (1 ) , ( 1 1 )1nnnx xxn ??? ? ? ? ? ? ??? 1( 1 ) ( 1 )( 6 ) 1 ( 1 ) , 1 1 ( )! nnn x x xn ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? 為 實 常 數(shù) 用逐項求導(dǎo)和逐項積分方法以及等比級數(shù)求和公式 用逐項求導(dǎo)和逐項積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解。 傅里葉級數(shù)（數(shù)學(xué) 一 ） （甲）內(nèi)容要點 一、三角函數(shù)系的正交性 ? ?也即有皆為則任意兩個元素的內(nèi)積再定義內(nèi)積間看作實數(shù)域上的線性空上的三角函數(shù)系定義在,0)()(),(,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1)0(,?????lldxxgxfgf，xlnxlnxlxlx