【正文】 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 129 第八章 無窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三） 引言：所謂無窮級(jí)數(shù)就是無窮多項(xiàng)相加，它與有限項(xiàng)相加有本質(zhì)不同，歷史上曾經(jīng)對(duì)一個(gè)無窮級(jí)數(shù)問題引起爭論。例如： ?? ??????? ? 1)1(1111 n 歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和” 第一種 0)11()11()11( ???????? ?? 第二種 1)11()11()11(1 ???????? ?? 第三種 設(shè) Sn ???????? ? ?? 1)1(1111 則 ? ? S?????? ?11111 ,1 SS?? ,12 ?S 21?S 這種爭論說明對(duì)無窮多項(xiàng)相加，缺乏一種正確的認(rèn)識(shí)。 1) 什么是無窮多項(xiàng)相加？如何考慮？ 2) 無窮多項(xiàng)相加，是否一定有“和”？ 3) 無窮多項(xiàng)相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對(duì)無窮級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論。 167。 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （甲） 內(nèi)容要點(diǎn) 一、基本概念與性質(zhì) 1. 基本概念 無窮多個(gè)數(shù) ?? ,, 321 nuuuu 依次相加所得 到的表達(dá)式 ?? ????????? nn n uuuuu 3211稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡稱級(jí)數(shù)）。 ?? ?? nk kn uS 1 1 2 3 nu u u u? ? ? ? （ ?,3,2,1?n ）稱為級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)的部分和，該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 130 ? ? ),3,2,1( ??nSn 稱為部分和 數(shù) 列。 SuS ，uS ，S n n nnnn ?? ? ??? ???? 1 1)(l i m 記以且其和為是收斂的則稱級(jí)數(shù)存在若 nn S??lim若不存在，則稱級(jí)數(shù) ???1n nu是發(fā)散的，發(fā)散級(jí)數(shù)沒有和的概念。 （ 注：在某些特殊含義下可以考慮發(fā)散級(jí)數(shù)的和，但在基礎(chǔ)課和考研的考試大綱中不作這種要求。） 2． 基本性質(zhì) （ 1） 如果 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ???? ??1 1 1 11 )(,n n n n nnnnnn n vbua，bvau，b，avu 且等于收斂則為常數(shù)皆收斂和 （ 2） 在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變 。 （ 3） 收斂級(jí) 數(shù)具有結(jié)合律，也即對(duì)級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，而且其和不變。 發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級(jí)數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號(hào)后得到級(jí)數(shù)的情形就不同。 （ 4） 級(jí)數(shù) ???1n nu 收斂的必要條件是 0lim ??? nn u （ 注：引言中提到的級(jí)數(shù) ?????11,)1(nn 具有 ??nlim ? ? 不存在11 ?? n ，因此收斂級(jí)數(shù)的必要條件不滿足， ???1n? ? 11??n 發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù) ???1n n1 滿足 ??nlim 但,01?n ???1n n1 卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級(jí)數(shù)的必要條件??nlim 0?nu，而 ???1nnu 收斂性尚不能確定。 ） 3．兩類重要的級(jí)數(shù) （ 1）等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)） ???0n nar ? ?0?a 當(dāng) 1?r 時(shí)， ???0nnar ra??1 收斂 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 131 當(dāng) 1?r 時(shí)， ???0nnar 發(fā)散 （ 2） p 一級(jí)數(shù) ???11n pn 當(dāng) p1 時(shí)， ???11n pn收斂， 當(dāng) p? 1 時(shí) ???11n pn發(fā)散 （注： p1 時(shí)， ???11n pn的和一般不作 要求，但后面用特殊的方法可知 ???1n 61 22 ??n ） 二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法 ? ??,3,2,10 ?? nu n若 則 ???1n nu稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí) ? ? ? ?nnn SnSS 所以?,3,2,11 ??? 是單調(diào) 加數(shù)列，它是否收斂就只取決于 nS 是否有上界，因此 ???1nnn Su ?收斂 有上界， 這是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比較判別法的基礎(chǔ)，從而也是正項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。 1. 比較判別法 如果皆成立時(shí)當(dāng)設(shè) ，u， c vNnc nn 0,0 ???? ???1n nv收斂，則 ???1n nu收斂； 如果 ???1n nu發(fā)散，則 ???1n nv發(fā)散。 2. 比較判別法的極限形式 設(shè) ),3,2,1(,0,0 ???? nvu nn 若??nlim Avunn? 1) 當(dāng) 0A+? 時(shí)， ???1n nu與 ???1n nv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。 2) 當(dāng) A=0 時(shí)，若 ???1n nv收斂，則 ???1n nu收斂。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 132 3) 當(dāng) A=+? 時(shí)，若 ???1n nu收斂 ，則 ???1n nv收斂。 3．比值判別法（達(dá)朗倍爾） 設(shè) nu 0，而??nlim ???nnuu 1 1） 當(dāng) ? 1 時(shí)，則 ???1n nu收斂 2） 當(dāng) ? 1 時(shí) (包括 ? =+? )，則 ???1n nu發(fā)散 3） 當(dāng) ? =1 時(shí)，此判別法無效（注：如果??nlim nnuu1?不存在時(shí)，此判別法也無法用 ） 4．根值判別法（柯西） 設(shè) nu ? 0，而??nlim ??n nu 1） 當(dāng) ? 1 時(shí)，則 ???1n nu收斂 2） 當(dāng) ? 1 時(shí) (包括 ? =+? )，則 ???1n nu發(fā)散 3） 當(dāng) ? =1 時(shí)，此判別法無效 事實(shí)上，比值判別法和根值判別法都是與等比級(jí)數(shù)比較得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)用時(shí)，根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們?cè)?? =1 情形下都無能為力。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法 ，但較復(fù)雜，對(duì)考研來說不作要求。 三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法 1．交錯(cuò)級(jí)數(shù)概念 若 nu 0, ???1nnn u1)1( ?? 稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。 2． 萊布尼茲判別法 設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) ???1nnn u1)1( ?? 滿足： 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 133 1） ??1nu nu ),3,2,1( ??n 2) ??nlim nu=0 ，則 ???1nnn u1)1( ?? 收斂，且 0???1nnn u1)1( ?? 1u 四、絕對(duì)收斂與條件收斂 1．定理 若 ???1nnu 收斂，則 ???1nnu 一定收斂；反之不然。 2．定義 若 ???1nnu 收斂，則稱 ???1nnu 為絕對(duì)收斂； 若 ???1nnu 收斂，而 ???1nnu 發(fā)散，則稱 ???1nnu 為條件收斂。 3．有關(guān)性質(zhì) 1）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有交換律，也即級(jí)數(shù)中無窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂，且其和 不 變。 2）條件收斂級(jí)數(shù)的正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，即 ???1n 21 （ nu + nu ）或 ???1n 21 （ nu — nu ） 一定是發(fā)散的。 4．一類重要的級(jí)數(shù) 設(shè) ???1n ?nn 1)1( ?? 1） 當(dāng) ? 1 時(shí)， ???1n ?nn 1)1( ?? 是絕對(duì)收斂的 2） 當(dāng) 0? ? 1 時(shí)， ???1n ?nn 1)1( ?? 是條件收斂的 3） 當(dāng) ? ? 0 時(shí)， ???1n ?nn 1)1( ?? 是發(fā)散的 （乙） 典型例題 一、 主要用部分和數(shù)列的極限討論級(jí)數(shù)的斂散性 例 1． 判定下列級(jí)數(shù)斂散性，若收斂 并求級(jí)數(shù)的和。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 134 1） ???1n )1()1(1 ??? nnnn 2） ???1n nn212? 1）解： ???1n )1()1(1 ??? nnnn 的 ?nS ??nk1 )1()1(1 ??? kkkk ?nS ??nk1 ? ? ? ? ?????? ?????221)1()1(kkkkkk =??nk1 111)111( ????? nkk ???nlim ?nS1 ????1n 1)1()1(1 ???? nnnn ， 收斂 2）解： ?nSnn2 12252321 32 ????? ? ① 21 ?nS 1432 2 122 32252321 ???????? nn nn? ② ① ② 得 21 ?nS132 2 12)212121(221 ??????? nn n? =111 2 32232 12)2 11(21 ??? ??????? nnn nn ???nlim ?nS3 ????1n nn212? =3，收斂 例 2 設(shè)數(shù)列 ? ? ??? ??1 1 )(n nnn ，aan，na 證明收