高等數(shù)學(xué)定積分可積性理論補(bǔ)敘-文庫(kù)吧
2025-07-17 14:57 本頁(yè)面
【正文】 ? ???對(duì)于任意分割 與 總有性質(zhì) 4 ,T T T? ????令則證 由性質(zhì) 2 可直接得到 : ( ) ( ) , ( ) ( ) .S T S T s T s T?? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) in f ( ) , su p ( )TTS S T s s T??( ) ( ) .m b a s S M b a? ? ? ? ?性質(zhì) 5 [ , ] , 4f a b設(shè) 是 上的有界函數(shù) 由性質(zhì) 知道定義 3 ,p 個(gè)分點(diǎn)所構(gòu)成 令都存在 ,分別稱為 f 在 [ a, b ]上的 上積分 與 下積分 . 0,2 ( ) 1M m p?? ????|| || 0 || || 0li m ( ) , li m ( ) .TTS T S s T s?? ??定理 (達(dá)布定理 ) 0 , ,T? ?? ? ? 分割 使得( ) 2 .S T S ?? ??證 T?設(shè)由返回 后頁(yè) 前頁(yè) | | | | , ,T T T T p? ???則當(dāng) 時(shí) 至多比 多 個(gè)新分點(diǎn)( ) ( ) | | | | ( ) ( ) ,S T M m p T S T T S T??? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) | | | |S S T S T M m p T?? ? ? ?,22SS?? ?? ? ? ? ?因此由性質(zhì) 2 和性質(zhì) 3 , 得到 則 || || 0li m ( ) .T S T S? ?|| || 0li m ( ) .T s T s? ?類(lèi)似可證:返回 后頁(yè) 前頁(yè) [ , ] : [ , ]f a b f a b在 上可積的充要條件是 在 上的上,. Ss ?積分與下積分相等 即1( ) ,niiif x J? ? ?????二、可積的充要條件 定理 ( 可積的第一充要條件 ) [ , ] ,f a b設(shè) 在 上 可 積0 , 0 ,??? ? ? ?證 (必要性 ) | | | | ,T ??當(dāng) 時(shí) 有1( ) .niiiJ f x J? ? ? ??? ? ? ??即返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ) ( ) ,J s T S T J??? ? ? ? ?由性質(zhì)1 , 得 即| ( ) | , | ( ) | .S T J s T J??? ? ? ?因此由達(dá)布定理, 得到.Ss?故證得|| || 0 || || 0l i m ( ) l i m ( ) .TTS T s T J?? ??0 , 0 , | | | | ,T? ? ?? ? ? ? ?從而 當(dāng) 時(shí),S s J??設(shè) 則 由 達(dá) 布 定 理 ,(充分性 ) 00li m ( ) li m ( ) ,TTS S T J s s T J和??? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) ],[ 1 iii xx ??? ?由于 ,)()()(1?????niii TSxfTs ?1( ) .niiif x J? ? ?????因此 [ , ] ,f a b即 在 上可積.)()( ?? ????? JTSTsJ定理 ( 可積的第二充要條件 ) [ , ] :f a b在 上 可 積 的 充 要 條 件 是0 , ,T?? ? ? 分 割( ) ( ) ,S T s T ???使即1 Δ .niiix?????( ) d .ba f x x J??且返回 后頁(yè) 前頁(yè) 由上和與下和的幾何意義知道幾何意義 , 上述充的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到任意小, 只要[ , ]a b T對(duì) 的分割 足夠地細(xì).()y f x?要條件的幾何意義為: 下圖中包圍曲線O xa byΔiiT x????()y f x?返回 后頁(yè) 前頁(yè) | | | | 0li m ( ) ( ) S T s T S s? ? ? ? ?, 0 , 0 , | | | | ,T? ? ?? ? ? ? ?因此 當(dāng) 時(shí) 就有( ) ( ) .S T s T ???0 ( ) ( ) .S s S T s T ?? ? ? ? ?,. Ss? ?由 的任意性 必有 依據(jù)可積的第一充要條[ , ] ,f a b設(shè) 在 上可積 則證 (必要性 ) , ( ) ( ) ,T S T s T ?? ? ?若 使 則(充分性 ) , ( ) .fx件 證得 可積返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,TT在分割 使得屬于 的所有小區(qū)間中 對(duì)應(yīng)于振Δ Δ .k k kkx? ? ?幅 的 那 些 小 區(qū) 間 的 總 長(zhǎng) ?????? ?定理 ( 可積的第三充要條件 ) [ , ] :f a b在 上可積的充要條件是 0 , 0 ,??? ? ? 存, Δ .kkkTx ? ? ?要 條 件 存 在 分 割 使 ??于是 [ , ] ,f a b設(shè) 在 上可積 由可積的第二充證 (必要性 ) 39。Δ Δ Δ ,k k k k kk k kx x x? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 即得, 0,2 ( ) 2 ( )b a M m???? ??? ? ???, ΔkkT ??存 在 使 的 的 總 長(zhǎng)???Δ ,kkT ??設(shè) 中 滿 足 的 那 些 小 區(qū) 間 為 則?? ???39。 Δ .kkx ?? ??Δ .kkx ?????(充分性 ) 0,? ? ?任給 取返回 后頁(yè) 前頁(yè) Δ Δ Δk k k k k kk k kx x x? ? ?? ? ?? ??? ????? ? ?() Δ ΔkkkkM m x x?? ??? ??? ? ???( ) ( )M m b a??? ? ? ?22?? ???? .???[ , ] .f a b因此證得 在 上可積返回 后頁(yè) 前頁(yè) 01: nT a x x x b? ? ? ? ?1|| || 0 1l i m ( ) ( ) d ( ) ( ) d .iin xbi xaTif x g x x f x g x x?? ??? ??10 , 0 , || || , Δ .nfiii
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