【正文】 ？ (1)3a(bc+a)=3abc+a (2)2x(x23x+2)=2x36x2+4x (3)2m(m2mn+1)=2m32m2n+2m 點(diǎn)撥 (1)(2)不正確， (3)正確 .(1)題錯(cuò)在沒有將單項(xiàng)式分別與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘 .(2)題錯(cuò)在沒有將 2x 中的負(fù)號乘進(jìn)去 . 知識點(diǎn) 6 多項(xiàng)式相乘的乘法法則 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加 . 【說明】 多項(xiàng)式相乘的問題是通過把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的問題來解決 的，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 . (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn. 計(jì)算時(shí)是首先把 (a+b)看作一個(gè)整體，作為單項(xiàng)式，利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則計(jì)算 . 典例剖析 師生互動(dòng) 基本概念題 本節(jié)有關(guān)基本概念的題目包括以下幾個(gè)方面： (1)同底數(shù)冪的乘法； (2)冪的乘方與積的乘方； (3)整式的乘法 . 例 1 計(jì)算 . (1)① 103 104；② a a3；③ a a3 a5；④ (m+n)2 (m+n)3. (2)① (103)5；② (b3)4；③ (4)3 (41)3. (3)① (2b)3；② (2a3)2；③ (a)3；④ (3x)4. (分析 ) 本題主要考查三個(gè)公式： am an=am+n， (am)n=amn， (ab)n=anbn，其中， m，n均為正整數(shù) . 解： (1)① 103 104=103+4=107. ② a a3=a1+3=a4. ③ a a3 a5=a1+3+5=a9. ④ (m+n)2 (m+n)3=(m+n)2+3=(m+n)5. (2)① (103)5=103 5=1015. ② (b3)4=b3 4=b12. ③ (4)3 (41 )3=[(4) (41 )]3=13=1. (3)① (2b)3=23b3=8b3. ② (2a3)2=22(a3)2=4a6. ③ (a)3=(1)3a3=a3. ④ (3x)4=(3)4x4=81x4. 小結(jié) 在應(yīng)用這三個(gè)公式時(shí)要準(zhǔn)確，尤其是公式 (am)n=amn，不要寫成(am)n=a nm ，這是不正確的 . 基本知識應(yīng)用題 本節(jié)的基礎(chǔ)知識應(yīng)用包括： (1)經(jīng)歷 探索整式乘法運(yùn)算法則的過程； (2)會(huì)進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算 . 例 2 計(jì)算 . (1)3x2y (2xy3)； (2)(5a2b3) (4b2c). (分析 ) 單項(xiàng)式乘法，其實(shí)質(zhì)就是同底數(shù)冪乘法與乘法交換律和結(jié)合律 . 解： (1)3x2y (2xy3)=［ 3 (2)］ (x2 x)(y y3)=6x3y4. (2)(5a2b3) (4b2c)=[(5)(4)]a2 (b3 b2) c=20a2b5c. 例 3 計(jì)算 . (1)2a2(3a25b)； (2)(2a2)(3ab25ab3). (分析 )單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，其實(shí)質(zhì)就是乘法分配律的應(yīng)用 . 解： (1)2a2(3a25b) =2a2 3a22a2 5b =6a410a2b. 解法 1： (2)(2a2)(3ab25ab3)=(2a2) 3ab2(2a2) 5ab3 =6a3b2+10a3b3. 解法 2： (2)(2a2)(3ab25ab3) =(2a2 3ab22a2 5ab3) =(6a3b210a3b3) =6a3b2+10a3b3. 小結(jié) 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要注意兩個(gè)問題： (1)要用單項(xiàng)式與 多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，避免漏乘； (2)單項(xiàng)式帶有負(fù)號時(shí)，如 (2)小題，乘的時(shí)候容易弄錯(cuò)符號，為了避免這一錯(cuò)誤出現(xiàn)，可以用 (2)小題的第二種解法，就能有效地解決 . 例 4 計(jì)算 . (1)(x3y)(x+7y)； (2)(5x+2y)(3x2y). (分析 )先用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算，最后要合并同類項(xiàng) . 解： (1)(x3y)(x+7y)=x2+7xy3xy21y2=x2+4xy21y2. (2)(5x+2y)(3x2y)=15x21Oxy+6xy4y2=15x24xy4y2. 學(xué)生做一做 計(jì)算 . (1)(x+2)(x3)； (2)(3x1)(2x+1). 老師評一評 (1)(x+2)(x3)=x23x+2x6=x2x6. (2)(3x1)(2x+1)=6x2+3x2x1=6x2+x1. 綜合應(yīng)用題 本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括： (1)整式乘法與方程的綜合應(yīng)用； (2)整式乘法與不等式的綜合應(yīng)用； (3)整式乘法與整式加減的綜合應(yīng)用 . 例 5 化簡 . (1)(a+b)(a2b)(a+2b)(ab)； (2)5x(x2+2x+1)(2x+3)(x5). (分析 ) 整式加 減與整式乘法的混合計(jì)算，要依照先乘法，后加減的順序計(jì)算 . 解： (1)(a+b)(a2b)(a+2b)(ab) =(a2ab2b2)(a2+ab2b2) =a2ab2b2a2ab+2b2 =2ab. (2)5x(x2+2x+1)(2x+3)(x5) =(5x3+10x2+5x)(2x27x15) =5x3+10x2+5x2x2+7x+15 =5x3+8x2+12x+15. 學(xué)生做一做 化簡 . (1)(3y+2)(y4)3(y2)(y3)； (2)(3x2)(x3)2(x+6)(x5)+31x27x13. 老師評一評 (1)原式 =5y26. (2)原式 =32x220x+53. 例 6 解方程 (3x2)(2x3)=(6x+5)(x1). (分析 ) 解方程時(shí)，有括號的先去括號 . 解： (3x2)(2x3)=(6x+5)(x1)， 6x213x+6=6x2x5， 6x213x6x2+x=56， 12x=11， ∴ x=1211 . 學(xué)生做一做 解下列方程 . (1)3x(7x)=18x(3x15)； (2)21 x(x+2)=1x(321 x). 老師評一評 (1)x=3； (2)x=41 . 小結(jié) 在解存在整式乘法的方程時(shí)，依照先乘法，后加減的順序，其他步驟沒有變化 . 例 7 解不等式 (3x+4)(3x4)＞ 9(x2)(x+3). 解： (3x+4)(3x4)＞ 9(x2)(x+3)， 9x216＞ 9(x2+x6)， 9x216＞ 9x2+9x54， 9x29x29x＞ 1654， 9x＞ 38,∴ x＜938. 學(xué)生做一做 解不等式 (x+3)(x7)+8＞ (x+5)(x1). 老師評一評 x＜ 1. 探索與創(chuàng)新題 主要考查靈活解決問題和創(chuàng)新的能力 . 例 8 已知 m ba? m ba? =m12，求 a 的值 . (分析 )由同底數(shù)冪乘法法則可把原式變形為 m )()( baba ??? =m12，由此得到(a+b)+(ab)=12，進(jìn)而求出 a的值 . 解：∵ m ba? m ba? =m12，∴ m )()( baba ??? =m12. ∴ (a+b)+(ab)=12， ∴ 2a=12.∴ a=6. 學(xué)生做一做 (1)若 644 83=2x，則 x= ； (2)若 x2n=4， x6n= ， (3x3n)2= ； (3)已知 am=2， an=3，則 am+n= . 老師評一評 (1)33 (2)64 576 (3)6 小結(jié) 在應(yīng)用同底數(shù)冪乘法、冪的乘方及積的乘方運(yùn)算解決問題時(shí)，貴在靈活，尤其是公式： am an=am+n， (am)n=amn,(ab)m= ambm(m， n 為正整數(shù) )，它們的逆應(yīng)用非常廣泛，大家要引起充分的重視 . 例 9 計(jì)算 (3)2021 (31 )2021. (分析 )按照本題的運(yùn)算級別，應(yīng)先乘方后乘法，但是我們看到，要計(jì)算出(3)2021 (31 )2021 的具體值是相當(dāng)困難的，也是不必要的 .因此我們不妨 仔細(xì)觀察本題的特點(diǎn)，雖然兩個(gè)乘方運(yùn)算的指數(shù)都很大，但是它們兩者卻只相差 1，而且它們的底數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，而且互為負(fù)倒數(shù)的乘積是 1，因此考慮公式 (ab)m=ambm的逆應(yīng)用，即把指數(shù)大的乘方運(yùn)算中的指數(shù)進(jìn)行變化 . 解： (3)2021 (31 )2021 =(3)2021 (31 )2021+1 =(3)2021 (31 )2021 31 =[(3) 31 ]2021 31 =(1)2021 31 =131=31. 學(xué)生做一做 (1)(51)5993 252996= ； (2)(32)2021 (241)1000= ； (3)(131 )2021 (141 )2021 (53 )2021= . 老 師 評 一 評 (1)( 51 )5993 252996=( 51 )5993 (52)2996=( 51 )5993 55992=51 (51 )5992 55992=51 . (2)(32 )2021 (241 )1000=(32 )2021 (49 )1000=(32 ) (32 )2021 [(23 )2]1000=(32 ) (32 )2021 (23 )2021=(32 ) [(32 ) 23 ]2021=(32 ) (1)2021=(32 ) 1=32 . (3)原式 =( 34 )2021 ( 45 )2021 (53 )2021=[34 (45 ) (53 )]2021 (45 )(53 )2=12021 (45 ) 259 =209 . 例 10 已知 2x=3， 2y=5， 2z= x+y=z. (分析 )要說明 x+y=z，只需說明 2x+y=2z即可 . 證明：∵ 2x=3， 2y=5， ∴ 2x+y=2x 2y=3 5=15. 又∵ 2z=15，∴ 2x+y=2z.∴ x+y=z. 例 11 比較大小 . (1)1625與 290； (2)2100與 375. (分析 ) 比較兩個(gè)正數(shù)冪的大小，一種是指數(shù)相同，比較底數(shù)大小，另一種是底數(shù)相同，比較指數(shù)大小 . 解： (1)∵ 1625=(24)25=2100， 290=290， 又∵ 2＞ 1，∴ 290＜ 2100，即 1625＞ 290. (2)∵ 2100=(24)25=1625， 375=(33)25=2725，且 16＜ 27， ∴ 1625＜ 2725，即 2100＜ 375. 學(xué)生做一做 比較 355， 444， 533的大小 . 老師評一評 ∵ 355=(35)11=24311， 444=(44)11=25611， 533=(53)11=12511，且 256＞243＞ 125， ∴ 25611＞ 24311＞ 12511，即 444＞ 355＞ 533. 例 12 如果 (x+q)(x+51 )的積中不含 x項(xiàng)，那么 q= . (分析 ) 欲求 q的值，則需化簡 (x+q)(x+51 )=x2+(51 +q)x+51 q, 因?yàn)榉e中不含 x項(xiàng)，即 x項(xiàng)的系數(shù)是 0，所以 51 +q=0，所以 q=51 . 小結(jié) 欲求多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)，即某項(xiàng)的系數(shù)為 0. 例 13 若 n為自然數(shù)，試說明 n(2n+1)2n(n1)的值一定是 3的倍數(shù) . 解：∵ n(2n+1)2n(n1) =2n2+n(2n22n) =2n2+n2n2+2n =3n， 且 n 為自然數(shù)， ∴ n(2n+1)2n(n1)一定是 3的倍數(shù) . 學(xué)生做一做 用你所學(xué)的知識，說明 523521能被 120 整除 . 老師評一評 ∵ 523521=521+2521=521 52521=521 (521)=24 521=24 5520=120 520，∴是 120 的整數(shù)倍，∴ 523521能被 120 整除 . 例 14 設(shè) m2+m1=0，求 m3+2m2+2021 的值 . (分析 ) 欲求代數(shù)式的值，從 m2+m1=0 中求 m 的值是比較困難的，也是不必要的，只需利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的積的逆運(yùn)算即可 . 解：∵ m2+m1=0，∴ m2+m=1. ∴ m3+2m2+2021 =m(m2+m)+m2+2021 =m 1+m2+2021 =m2+m+2021 =1+2021 =2021. ∴ m3+2m2+2021=2021. 學(xué)生做一做 若 2x+5y3=0，則 4x 32y= . 老師評一評 ∵ 2x+5y3=0，∴ 2x+5y=3， ∴ 4x 32y=(22)x (25)y22x 25y=22x+5y=23=8. 中考展望 點(diǎn)擊中考 中考命題