河南省許昌市三校20xx-20xx學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次聯(lián)考試題理(已改無錯字)
2022-12-28 12:41:51 本頁面
【正文】 。 n＝ 0，HB→ n＝ 0，即????? － 23y1＋ z1＝ 0，x1＋ 13y1＝ 0，取 y1＝－ 3，則 n＝ (1，－ 3，－ 2)． 設(shè)平面 PBC的法向量為 m＝ (x2， y2， z2)， 則????? PB→ m＝ 0，BC→ m＝ 0，即????? x2＋ y2－ z2＝ 0，－ x2＋ y2＝ 0， 取 x2＝ 1，則 m＝ (1,1,2)． 又 cos〈 m， n〉＝ m n|m||n|＝－ 217 ．故二面角 H173。PB173。C的余弦值為 217 ． .??? 12 分 20．（本小題滿分 12 分） (Ⅰ) 證法一：設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)，把 y＝ kx＋ 2代入 y＝ 2x2中，得 2x2－ kx－ 2＝ 0， ∴ x1＋ x2＝ k2.∵ xN＝ xM＝ x1＋ x22 ＝ k4， ∴ N點的坐標(biāo)為 ??? ???k4， k28 . ∵ (2x2)′ ＝ 4x， ∴ (2x2)′| x＝ k4＝ k，即拋物線在點 N處的切線的斜率為 k. ∵ 直線 l： y＝ kx＋ 2的斜率為 k， ∴ 切線平行于 AB. ????????5 分 證法二：設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)，把 y＝ kx＋ 2 代入 y＝ 2x2中得 2x2－ kx－ 2＝ 0， ∴ x1＋ x2＝ k2.∵ xN＝ xM＝ x1＋ x22 ＝ k4， ∴ N點的坐標(biāo)為 ??? ???k4， k28 . 設(shè)拋物線在點 N處的切線 l1的方程為 y－ k28＝ m??????x－ k4 ， 將 y＝ 2x2代入上式得 2x2－ mx＋ mk4 － k28＝ 0， ∵ 直線 l1與拋物線 C相切， ∴ Δ ＝ m2－ 8??? ???mk4 － k28 ＝ m2－ 2mk＋ k2＝ (m－ k)2＝ 0， ∴ m＝ k，即 l1∥ AB. ????????5 分 (Ⅱ )解：假設(shè)存在實數(shù) k，使以 AB為直徑的圓 M經(jīng)過點 N. ∵ M是 AB的中點， ∴ |MN|＝ 12|AB|. 由 (1)知 yM＝ 12(y1＋ y2)＝ 12(kx1＋ 2＋ kx2＋ 2)＝ 12[k(x1＋ x2)＋ 4]＝ 12??? ???k22＋ 4 ＝k24＋ 2， ∵ MN⊥ x軸， ∴ |MN|＝ |yM－ yN|＝ k24＋ 2－k28＝k2＋ 168 . ∵ |AB| ＝ 1＋ k2 x1＋ x2 2－ 4x1x2 ＝ 1＋ k2 ??? ???k2 2－ － ＝ 12 k2＋ 1 k2＋ 16. ∴ k2＋ 168 ＝14 k2＋ 1 k2＋ 16， ∴ k＝ 177。2 ， ∴ 存在實數(shù) k＝ 177。2 ，使以 AB為直徑的圓 M經(jīng)過點 N. ???????? 12分 21．（本小題滿分 12 分） 解： (Ⅰ) 因 為2() xafx x?? ?，且 ? ?1,xe? ，則 ① 當(dāng) 1a? 時， ( ) 0fx? ? ，函數(shù) ()fx單調(diào)遞增，其最小值 為 (1) 1fa??，這與函數(shù)在 ? ?1,e上的最小值是 32 相矛盾； ② 當(dāng) 1 ae??時，函數(shù) ()fx在 [1, )a 上有 ( ) 0fx? ? ，單調(diào)遞減，在 (, ]ae 上有 ( ) 0fx? ? ，單調(diào)遞增， ∴ 函數(shù) ()fx的最小值為 3( ) ln 1 2f a a? ? ?，得 ae? ． ③ 當(dāng) ae? 時， ( ) 0fx? ? ，函數(shù) ()fx在 ? ?1,e 上單調(diào)遞減，其最小值為 ( ) 1 2afe e? ? ? ，與最小值是 32 相矛盾． 綜上， a 的值為 e ． ????????5 分 證明： (Ⅱ )要證1( ) 121xxF x ee xe? ?? ?，即證 1( ) 211xxF x ee xe????， ????????6 分 當(dāng) 1a? 時， 1 ln( ) 1 ln xF x xxx? ? ? ?， 2 2 21 1 1 l n l n() x x xFx x x x x??? ? ? ? ? ?
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