【正文】 ? 試驗設計 : 通過對實驗進行精心的設計，使得在有限的物質條件下（事件、金錢、人力）所得到的數(shù)據(jù)能夠在盡可能少的試驗中最大限度地包含有用的信息 ? 方差分析 : 就是相應的從試驗數(shù)據(jù)中提取這種信息的統(tǒng)計方法 一、幾個概念 ： 試驗中要加以考察而改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫的英文字母 A、 B、 C? 來表示。 ： 因子在試驗中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。 ：在一次試驗中每個因子總取一個特定的水平 ： 衡量試驗結果的特性稱為指標，譬如： 質量特性：強度，放大系數(shù)，壽命， ? 產(chǎn)量特性：收率，畝產(chǎn)量， ? 其它：成本，時間， ? Y表示試驗中所考察的指標， y是隨機變量，它 表示在給定試驗條件下指標全體 均值 μ 是一個依賴于試驗條件的常量 方差是一個常量 。 ： 如果一個試驗中所考察的因子只有一個，這樣的試驗稱為單因子試驗問題。 例 現(xiàn)有 甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一種零件，為了了解不同工廠的零件的強度有無明顯的差異，現(xiàn)分別從每一個工廠隨機抽取四個零件測定其強度，數(shù)據(jù)如下表所示，試問三個工廠的零件強度是否相同？ 表 三個工廠的零件強度 工廠 零件強度 甲 103 101 98 110 乙 113 107 108 116 丙 82 92 84 86 在這一例子中，考察一個因子： 因子 A：工廠 該因子有三個水平：甲、乙、丙 試驗指標是：零件強度 為檢驗上述各總體均值是否一致這一假設，需要從每一總體中抽取樣本。 方差分析的實質是檢驗若干個具有相同方差的正態(tài)總體的均值是否一致的一種統(tǒng)計分析方法。 只考察一個因子 A 它有 r個水平 每個水平測量 m次 三個假定： （ 1）在水平 Ai下，指標服從正態(tài)分布 （ 2）在不同水平下，各方差相等 （ 3）各數(shù)據(jù) yij相互獨立 在這些假定下檢驗如下假設： H0： H1： 不全相等 r??? ??? ?21 r??? , 21 ?),( 2??iNimii yyy , 21 ? 當 H0不真時，表示不同水平下的指標的均值 有顯著差異，此時稱因子 A顯著，否則稱因子 A 不顯著。 試驗中所考察的因子有兩個，稱為兩因子試驗 問題。采用的數(shù)據(jù)分析方法是兩因子方差分析。 二、單因子方差分析 假定因子 A有 r個水平 ， 在 Ai水平下指標服從正態(tài)分布 ， 其均值為 ， 方差為 ， i=1,2, … , r 。 每一水平下的指標全體便構成一個總體 ， 共有 r個 總體 ， 這時比較各個總體的問題就變成比較各個總體的均值是否相同的問題了 ， 也就是檢驗假設 H0,H1的問題 , 檢驗這一假設的統(tǒng)計方法便是方差分析 。 i ? 2? 設在一個試驗中只考察一個因子 A，它有 r個水平，在每一水平下進行 m次重復試驗，其結果用 表示，i=1,2, … , r。 常常把數(shù)據(jù)列成如下表格形式： 表 單因子試驗數(shù)據(jù)表 水平 試驗數(shù)據(jù) 和 均值 A1 T1 A2 T2 … … … … Ar Tr imii yyy , 21 ?myyy 11211 , ?myyy 22221 , ?rmrr yyy , 21 ?1y2yry 記第 i 水平下的數(shù)據(jù)均值為 ，總的均值 為 。此時共有 n=rm個數(shù)據(jù)，這 n個數(shù)據(jù)不全相同，它們的波動可以用總的偏差平方和ST去表示 引起數(shù)據(jù)波動的原因不外如下兩個： iyy? ?? ???rimjijT yyS1 12)(組間偏差 : 由于因子 A的水平不同，當假設 不真時，各個水平下指標的均值不同，這必然會使試驗結果不同，我們可以用組間偏差平方和來表示，也稱因子 A的偏差平方和： 21)(??? ??riiA yymS0H組內隨機偏差 : 由于存在隨機誤差，即使在同一水平下獲得的數(shù)據(jù)間也有偏差 . 組內偏差平方和表示： 可以證明有如下平方和分解式： ? ?? ????rimjiije yyS1 12)(eAT SSS ?? 分析 SA,Se與 H0的關系： 當 H0不真時， SA比例大 當 H0為真時， Se比例大 自由度的概念 : 自由度是獨立變量的個數(shù)，例如 在 ST中有 rm個數(shù)據(jù)，有一個約束條件： ，故有 rm1個獨立變量數(shù)，故自由度為 rm1，記 作 = 試驗次數(shù) 1 SA,Se的自由度。 ?? ??? ri mj ijyrmy 1 111?? rmTf ST、 SA、 Se 的自由度分別用 表示， 它們也有分解式： ，其中： 因子或誤差的偏差平方和與相應的自由度之 比稱為因子或誤差的均方和，并分別記為： 兩者的比記為： 當 時認為在顯著性水平 上因子 A是顯著的。 eAT fff 、eAT fff ??1?? 試驗數(shù)Tf 1?? 水平數(shù)Af ATe fff ??eeeAAA fSVfSV / / ?? ，eA VVF /?),(1 eA ffFF ??? ?表 單因子方差分析表 來源 偏差平方和 自由度 均方和 F比 因子 A =r1 誤差 e =nr 總計 T =n1 AS Af AAA fSV /? eA VVF /?eS efTS Tfeee fSV /?各個偏差平方和的計算 ： ? ? ? ?? ? ? ?????rimjrimjijijT nTyyyS1 1 1 1222)(nTmTyymS riiriiA21221)( ???? ?????ATe SSS ??對上例的分析 (1)計算各類和： 每一水平下的數(shù)據(jù)和為： 數(shù)據(jù)的總和為 T=1200 (2)計算各類平方和： 原始數(shù)據(jù)的平方和為： 每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為 (3)計算各偏差平方和： ST=12149212022/12=1492， fT=3 41=11 SA=485216/412022/12=1304, fA=31=2 Se= 14921304=188, fe=112=9 344444412 321 ??? TTT ，? ? ? 1214922ijy? ? 4 8 5 2 1 62iT表 單因子方差分析表 來源 偏差平方和 自由度 均方和 F比 因子 A =1304 =2 誤差 e = 188 =9 總計 T =1492 =11 AS Af 652?AV ?FeS efTS Tf?eV(4)列方差分析表： (5)結論： ① 如果給定 =，從 F分布表查得 由于 F，這表明不同的工廠生產(chǎn) 的零件強度有明顯的差異 。 )9,2( ?F? ② 當因子 A是顯著時，我們還可以給出每一水平下指標均值的估計，以便找出最好的水平。在單因子試驗的場合，第 i個水平指標均值的估計為： 在本例中，三個工廠生產(chǎn)的零件的平均強度的的估計分別為： ii y???86?111?103? 321 ??? ??? ，1 2 390100110A為直觀起見，可以畫一個各水平的均值圖： ③ 誤差方差的估計 : 這里方差 的估計是 Ve。 在本例中： 的估計是 。 的估計是 。 案例 \單因子方差分析案例 .doc 2?? ?2?三、兩因子方差分析 在一個試驗中需要同時考察兩個因子 A與 B，并設因子 A有 r 個水平，因子 B有 s 個水 平，這時共有 n=rs個不同的試驗條件，也就 是說有 n個總體。假定每一個總體的分布是 正態(tài)分布，其均值為 ，它與因子 A及 B的 水平有關，方差都相同，都是 。 一個因子的水平好壞或好壞的程度受另 一因子水平制約的情況，稱為因子 A與 B的 交互作用。 其直觀表示如下面的圖 (b)與 (c)所示。 ij?2?60 70 80 90 得率 B1 A1 A2 A1 A2 A1 A2 B2 B1 B1 B2 B2 (a) (b) (c) (一 ) 因子 A與 B不存在交互作用 設在 Ai與 Bj條件下的試驗結果用 yij表示， Ai水平下的均值用 表示， Bj水平下的均值 用 表示，總的數(shù)據(jù)均值用 表示，現(xiàn)在 數(shù)據(jù)的總偏差平方和 ST可以分解成三項： ST=SA+SB+Se 其中 SA、 SB及 Se分別稱為因子 A、因子 B及 誤差的偏差平方和，它們的表達式和計算 公式如下： ?iyjy? yBATrisjjiijesijsjjBriiriiArisjrisjijijTSSSyyyySnTrTyyrSnTsTyysSnTyyyS???????????????????? ?????? ? ? ?? ???????????? ? ? ?1 1221221212211 1 1 1222)()()()(各偏差平方和的自由度也有分解式： fT=fA+fB+fe 其中 fT =n1， fA =r1， fB =s1， fe = fTfAfB。 (二 ) 因子 A與 B間存在交互作用 設在 Ai與 Bj條件下的 m個試驗結果用 表示， AiBj條件下的數(shù)據(jù)均值用 表示， Ai水平下的均值用 表示， Bj 水平下的均值用 表示，總的數(shù)據(jù)均值用 表示，現(xiàn)在數(shù)據(jù)的總偏差平方和 ST可 以分解成四項： ST=SA+SB+SA B+Se 其中 SA、 SB、 SA B及 Se分別稱為因子 A、 因子 B、交互作用 A B及誤差的偏差平方 和。 ijmijij yyy , 21 ?ijy ??iy??jyy它們的表達式和計算公式： BABATrisjmkiji j keBArisjijrisjjiijBAsijsjjBriiriiArisjrisjmki j kmki j kTSSSSyySSSnTmTyyyymSnTr