【正文】 下檢驗(yàn)如下假設(shè)： H0： H1： 不全相等 r??? ??? ?21 r??? , 21 ?),( 2??iNimii yyy , 21 ? 當(dāng) H0不真時(shí)，表示不同水平下的指標(biāo)的均值 有顯著差異，此時(shí)稱因子 A顯著，否則稱因子 A 不顯著。采用的數(shù)據(jù)分析方法是兩因子方差分析。 每一水平下的指標(biāo)全體便構(gòu)成一個(gè)總體 ， 共有 r個(gè) 總體 ， 這時(shí)比較各個(gè)總體的問(wèn)題就變成比較各個(gè)總體的均值是否相同的問(wèn)題了 ， 也就是檢驗(yàn)假設(shè) H0,H1的問(wèn)題 , 檢驗(yàn)這一假設(shè)的統(tǒng)計(jì)方法便是方差分析 。 常常把數(shù)據(jù)列成如下表格形式： 表 單因子試驗(yàn)數(shù)據(jù)表 水平 試驗(yàn)數(shù)據(jù) 和 均值 A1 T1 A2 T2 … … … … Ar Tr imii yyy , 21 ?myyy 11211 , ?myyy 22221 , ?rmrr yyy , 21 ?1y2yry 記第 i 水平下的數(shù)據(jù)均值為 ，總的均值 為 。 ?? ??? ri mj ijyrmy 1 111?? rmTf ST、 SA、 Se 的自由度分別用 表示， 它們也有分解式： ，其中： 因子或誤差的偏差平方和與相應(yīng)的自由度之 比稱為因子或誤差的均方和，并分別記為： 兩者的比記為： 當(dāng) 時(shí)認(rèn)為在顯著性水平 上因子 A是顯著的。 )9,2( ?F? ② 當(dāng)因子 A是顯著時(shí)，我們還可以給出每一水平下指標(biāo)均值的估計(jì)，以便找出最好的水平。 在本例中： 的估計(jì)是 。 案例 \單因子方差分析案例 .doc 2?? ?2?三、兩因子方差分析 在一個(gè)試驗(yàn)中需要同時(shí)考察兩個(gè)因子 A與 B，并設(shè)因子 A有 r 個(gè)水平，因子 B有 s 個(gè)水 平，這時(shí)共有 n=rs個(gè)不同的試驗(yàn)條件，也就 是說(shuō)有 n個(gè)總體。 一個(gè)因子的水平好壞或好壞的程度受另 一因子水平制約的情況，稱為因子 A與 B的 交互作用。 ij?2?60 70 80 90 得率 B1 A1 A2 A1 A2 A1 A2 B2 B1 B1 B2 B2 (a) (b) (c) (一 ) 因子 A與 B不存在交互作用 設(shè)在 Ai與 Bj條件下的試驗(yàn)結(jié)果用 yij表示， Ai水平下的均值用 表示， Bj水平下的均值 用 表示，總的數(shù)據(jù)均值用 表示，現(xiàn)在 數(shù)據(jù)的總偏差平方和 ST可以分解成三項(xiàng)： ST=SA+SB+Se 其中 SA、 SB及 Se分別稱為因子 A、因子 B及 誤差的偏差平方和，它們的表達(dá)式和計(jì)算 公式如下： ?iyjy? yBATrisjjiijesijsjjBriiriiArisjrisjijijTSSSyyyySnTrTyyrSnTsTyysSnTyyyS???????????????????? ?????? ? ? ?? ???????????? ? ? ?1 1221221212211 1 1 1222)()()()(各偏差平方和的自由度也有分解式： fT=fA+fB+fe 其中 fT =n1， fA =r1， fB =s1， fe = fTfAfB。 ijmijij yyy , 21 ?ijy ??iy??jyy它們的表達(dá)式和計(jì)算公式： BABATrisjmkiji j keBArisjijrisjjiijBAsijsjjBriiriiArisjrisjmki j kmki j kTSSSSyySSSnTmTyyyymSnTrmTyyrmSnTsmTyysmSnTyyyS?? ? ??? ?? ??????????????????? ? ? ? ????????????????????????????? ? ?? ?? ?????? ? ? ? ??1 1 1221 121 1221221212211 1 1 121212)( )()()()(各偏差平方和的自由度也有分解式： fT=fA+fB+fA B+fe 其中 fT =n1， fA =r1， fB =s1， fA B= fA fB， fe = fTfAfBfA B。 為了生產(chǎn)強(qiáng)度滿足用戶需要的合金 ， 在冶煉時(shí)如何控制碳的含量 ？ 如果在冶煉過(guò)程中通過(guò)化驗(yàn)得 12組數(shù)據(jù) ， 列于下表中： 序號(hào) i x i (% ) y( 107P a )1 2 0. 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畫(huà) 散點(diǎn)圖 。 yyxxxyniniiiniiiLLLyyxxyyxxr ???????? ??? ??1 1221)()())((???n1iixn1x ， ???n1iiyy21212)( xnxxxLniiniixx???? ????yxnyxyyxxLniiiniiixy????? ???? 11))((21212)( ynyyyLniiniiyy???? ????在合金鋼的例子中可算得： 1 5 8 ? ? 3 1 9 2i ?? 9 3 9 2y 2i ?? ii ?? 4 2 9 0 8 5 8 2 5 2 2 9 3 52 0 8 9 3 9 20 1 8 6 5 8 1 9 22?????????????xyyyxxLLL 2 2 9 1 8 6 4 2 9 ???yyxxxyLLLr 9 7 0 5 0 3 4 2 9 ?? 相關(guān)系數(shù) r 示意圖與說(shuō)明 x y r=1， 完全線性正相關(guān) x y r=1， 完全線性負(fù)相關(guān) 當(dāng) r0時(shí) 0 y x 強(qiáng)正相關(guān) 變量之間有很強(qiáng)的正相關(guān)性 ，變量之間可能存在顯著的因果關(guān)系 y x 0 弱正相關(guān) 變量之間有一定的正相關(guān)性 ，暗示變量之間可能存在較弱的因果關(guān)系 . 當(dāng) r0時(shí) 強(qiáng)負(fù)相關(guān) 變量之間有很強(qiáng)的負(fù)相關(guān)性 ，暗示變量之間可能存在顯著的因果關(guān)系 y x 0 弱負(fù)相關(guān) 變量之間有一定的負(fù)相關(guān)性 ，暗示變量之間可能存在較弱的因果關(guān)系 y x 0 當(dāng) r=0時(shí) ， 稱兩個(gè)變量 不相關(guān) . y x 復(fù)雜相關(guān) 變量之間有復(fù)雜相關(guān)性 ， 暗示變量之間可能存在的顯著因果關(guān)系因受不可控變量的干擾而模糊不清 。 ????????????? ??)2n(rrW21)1(2/1 ?? nr ?21??相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表 n 2 5% 1% n 2 5% 1% n 2 5% 1% 1 16 35 2 17 40 3 18 45 4 1 19 50 5 20 55 0 .250 6 21 60 7 22 70 8 23 80 9 24 90 10 25 100 11 26 150 12 27 200 13 28 300 13 14 29 400 15 30 1000 一元線性回歸模型 x是自變量 ， 非隨機(jī)變量 。 y由兩部分迭加而成： 1. 是隨 x變化的趨勢(shì) ， 用 β 0+β 1x表示 2. 是其它隨機(jī)因素影響的總和 ， 用 ε 表示 ， 常設(shè) ε ~N(0,ζ 2)。 按最小二乘法：記 若 滿足如下等式： 則稱 ， 為 β 0 ,β 1的最小二乘估計(jì)?；貧w方程的顯著性檢驗(yàn) 回歸方程的檢驗(yàn)有兩種方法 : 1. 對(duì)于給定的顯著性水平 α ， 當(dāng)相關(guān)系數(shù) r的絕對(duì)值大于臨界值 時(shí)， 兩個(gè)變量間存在線性相關(guān)關(guān)系 2. 方差分析的方法 )2(2/1 ?? nr ?誤差分解方法 總的波動(dòng)可用總偏差平方和 ST表示： 波動(dòng)的原因有二： 1. 由于自變量 x取不同值引起 y的變化； 2. 其它因素（除 x以外）引起 y變化 的 隨機(jī)誤差 . 1nf,)yy(S Tn1i2iT ???? ?? ? ?? ??? ????????????n1iREn1i2i2iin1i2iiiTSS)yy?()y?y()yy?()y?y(S1,)?(2,)?(1212???????????RniiREniiiEfyySnfyyS回歸平方和殘差平方和方差分析表 各平方和的計(jì)算： RTExyniiRyyniiTSSSLyySLyyS????????????11212?)?()(?來(lái)源 平方和 自由度 均方和 F 比 回歸 S R f R =1 MS R =S R /f R F=M S R /M S E 殘差 S E F E =n 2 MS E =S E /f E 利用回歸方程作預(yù)測(cè) 當(dāng) x=x0時(shí) , y是隨機(jī)變量 , 只能對(duì)其平均取值作出估計(jì) : 案例 \一元線性回歸案例 .doc 案例 \線性回歸分析案例 .doc 0100 x??y? ???? 下圖給出在不同 x值上預(yù)測(cè)區(qū)間的示意圖： 當(dāng) n較大時(shí) （ 如 n30） ， t分布可以用正態(tài)分布近似 ， 進(jìn)一步 ， 若 x0與 相差不大時(shí) ， δ 可以近似取為： 其中 u1α /2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 1α /2分位數(shù) x x y )x(y?y ???x??y? 10 ????)x(y?y ???21u? ?????x6SIGMA常用工具概念回顧 ? 流程圖 ? 因果圖 ? 排列圖 ? 失效模式分析 FMEA ? 關(guān)聯(lián)圖與矩陣圖 ? 質(zhì)量功能展開(kāi) QFD ? 測(cè)量系統(tǒng)分析 MSA ? DOE與方差分析 ? 一元線性回歸分析