【正文】 ?????????n1i2i10i10 )xy(),(Q0?? 1??),(Qmi n)?,?(Q 101,010 ????? ??0?? 1??β 0 與 β 1的最小二乘估計 可以驗證： ， 使 Q(β 0,β 1)達到最小 . 回歸方程： 此回歸方程總經(jīng)過 和 兩點 ????????xyLLxxxy101??????0?? 1??x??y? 10 ????)?,0( 0? )y,x(計算步驟 1 ．求出 ?ix ，? iy 和 x ， y ； 2 ．求 ?2ix ，? iiyx ，?2iy ； 3 ．計算 ? ??22xnxLixx，yxnyxLiixy??? ， 22ynyLiyy??? ； 4 ．求出 0?，1?的最小二乘估計。 故有如下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式： yi=β 0+β 1x+ε i， i=1,2,?,n 回歸系數(shù)的最小二乘估計 。 y是因變量 ， 隨機變量 。 0 不相關 變量之間表現(xiàn)出明顯的無關 . y x 0 相關系數(shù)的檢驗 在正態(tài)分布假設下，對假設 H0:r=0 ， H1:r≠0 其拒絕 H0的拒絕域為： n為樣本量 ， α 是顯著性水平 ， 為自由度為 n2的 r的 分位數(shù) . 譬如在合金鋼例子中 n=12， 若取 α =， 拒絕域為 {|r|}， 如今 r=， 可以顯著性水平α = ， 合金強度 y與其碳含量 x間存在線性關系。 為了研究兩個量間存在什么關系， 可以畫一張散點圖 ， 具體見下圖： 兩 類 關 系 確定性關系與 相關關系 ： （ 1） 兒子的身高與父親的身高 （ 2） 教育投資與家庭收入 （ 3） 體重與身高 （ 4） 合金鋼強度與合金鋼中的碳含量 相 關 系 數(shù)（ correlation coefficients） 散點圖的 n個點基本在一條直線附近 ， 但又不完全在一條直線上 ， 我們希望用一個量來表示他們的密切程度 ， 這個量稱為相關系數(shù)： 可以證明有 1≤r≤ 1。 四 . 正交試驗設計 (DOE) 多因素試驗次數(shù)太多 單循環(huán)法不一定找到最佳條件 用正交表選擇部分條件進行試驗 ,少量的試 驗獲得多的信息 正交表的特點 : 1. 每列中不同的數(shù)字重復次數(shù)相同 2. 將任意兩列的同行數(shù)字看成一個數(shù)對 , 那么一切可能數(shù)對重復次數(shù)相同 . L n(q ) n=q k=2,3,4?. P=(n 1)/(q1) L 4(2 ) L 8(2 ) L 16(2 ) k k 7 3 15 L 9(3 )正交表 4 試驗號 列號 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 無交互作用的試驗設計步驟 : 1. 根據(jù)正交表進行試驗設計 2. 進行試驗獲得試驗結(jié)果 3. 對數(shù)據(jù)的方差分析 4. 據(jù)試驗結(jié)果驗證數(shù)據(jù) 案例 \兩因子 DOE實驗案例 無交互 .doc 有交互作用的試驗設計步驟 : 1. 根據(jù)交互作用表和正交表進行試驗設計 2. 進行試驗獲得試驗結(jié)果 3. 對數(shù)據(jù)進行方差分析 4. 驗證數(shù)據(jù) 案例 \DOE試驗案例 .doc 一元線性回歸分析 ? 相關系數(shù) ? 一元線性回歸模型 ? 回歸方程的顯著性檢驗 ? 利用回歸方程作預測 回歸分析 Regression Analysis 回歸分析是研究一個隨機變量 y與另一些變量 x1,x2,? ,xk之間關系的統(tǒng)計方法 . x帶有 “ 原因 ” 的性質(zhì) ， 為自變量 . y帶有 “ 結(jié)果 ” 的性質(zhì) ， 為因變量 . 例 1 由專業(yè)知識知道 ， 合金的強度y( 107Pa)與合金中碳的含量 x(%)有關 。 (二 ) 因子 A與 B間存在交互作用 設在 Ai與 Bj條件下的 m個試驗結(jié)果用 表示， AiBj條件下的數(shù)據(jù)均值用 表示， Ai水平下的均值用 表示， Bj 水平下的均值用 表示，總的數(shù)據(jù)均值用 表示，現(xiàn)在數(shù)據(jù)的總偏差平方和 ST可 以分解成四項： ST=SA+SB+SA B+Se 其中 SA、 SB、 SA B及 Se分別稱為因子 A、 因子 B、交互作用 A B及誤差的偏差平方 和。 其直觀表示如下面的圖 (b)與 (c)所示。假定每一個總體的分布是 正態(tài)分布，其均值為 ，它與因子 A及 B的 水平有關，方差都相同，都是 。 的估計是 。在單因子試驗的場合，第 i個水平指標均值的估計為： 在本例中，三個工廠生產(chǎn)的零件的平均強度的的估計分別為： ii y???86?111?103? 321 ??? ??? ，1 2 390100110A為直觀起見，可以畫一個各水平的均值圖： ③ 誤差方差的估計 : 這里方差 的估計是 Ve。 eAT fff 、eAT fff ??1?? 試驗數(shù)Tf 1?? 水平數(shù)Af ATe fff ??eeeAAA fSVfSV / / ?? ，eA VVF /?),(1 eA ffFF ??? ?表 單因子方差分析表 來源 偏差平方和 自由度 均方和 F比 因子 A =r1 誤差 e =nr 總計 T =n1 AS Af AAA fSV /? eA VVF /?eS efTS Tfeee fSV /?各個偏差平方和的計算 ： ? ? ? ?? ? ? ?????rimjrimjijijT nTyyyS1 1 1 1222)(nTmTyymS riiriiA21221)( ???? ?????ATe SSS ??對上例的分析 (1)計算各類和： 每一水平下的數(shù)據(jù)和為： 數(shù)據(jù)的總和為 T=1200 (2)計算各類平方和： 原始數(shù)據(jù)的平方和為： 每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為 (3)計算各偏差平方和： ST=12149212022/12=1492， fT=3 41=11 SA=485216/412022/12=1304, fA=31=2 Se= 14921304=188, fe=112=9 344444412 321 ??? TTT ，? ? ? 1214922ijy? ? 4 8 5 2 1 62iT表 單因子方差分析表 來源 偏差平方和 自由度 均方和 F比 因子 A =1304 =2 誤差 e = 188 =9 總計 T =1492 =11 AS Af 652?AV ?FeS efTS Tf?eV(4)列方差分析表： (5)結(jié)論： ① 如果給定 =，從 F分布表查得 由于 F，這表明不同的工廠生產(chǎn) 的零件強度有明顯的差異 。此時共有 n=rm個數(shù)據(jù)，這 n個數(shù)據(jù)不全相同，它們的波動可以用總的偏差平方和ST去表示 引起數(shù)據(jù)波動的原因不外如下兩個： iyy? ?? ???rimjijT yyS1 12)(組間偏差 : 由于因子 A的水平不同，當假設 不真時，各個水平下指標的均值不同，這必然會使試驗結(jié)果不同，我們可以用組間偏差平方和來表示，也稱因子 A的偏差平方和： 21)(??? ??riiA yymS0H組內(nèi)隨機偏差 : 由于存在隨機誤差，即使在同一水平下獲得的數(shù)據(jù)間也有偏差 . 組內(nèi)偏差平方和表示： 可以證明有如下平方和分解式： ? ?? ????rimjiije yyS1 12)(eAT SSS ?? 分析 SA,Se與 H0的關系： 當 H0不真時， SA比例大 當 H0為真時， Se比例大 自由度的概念 : 自由度是獨立變量的個數(shù)，例如 在 ST中有 rm個數(shù)據(jù)，有一個約束條件： ，故有 rm1個獨立變量數(shù)，故自由度為 rm1，記 作 = 試驗次數(shù) 1 SA,Se的自由度。 i ? 2? 設在一個試驗中只考察一個因子 A，它有 r個水平，在每一水平下進行 m次重復試驗，其結(jié)果用 表示，i=1,2, … , r。 二、單因子方差分析 假定因子 A有 r個水平 ， 在 Ai水平下指標服從正態(tài)分布 ， 其均值為 ， 方差為 ， i=1,2, … , r 。 試驗中所考察的因子有兩個，稱為兩因子試驗 問題。 方差分析的實質(zhì)是檢驗若干個具有相同方差的正態(tài)總體的均值是否一致的一種統(tǒng)計分析方法。 ： 如果一個試驗中所考察的因子只有一個，這樣的試驗稱為單因子試驗問題。 ： 因子在試驗中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。R案例 DOE與方差分析 主要內(nèi)容 : 一、幾個概念 二、單因子方差分析 三、兩因子方差分析 四 . 正交試驗設計 ? 方差分析與試驗設計是英國統(tǒng)計學家兼遺傳學家費希爾（ Fisher）在進行農(nóng)業(yè)實驗時發(fā)展起來的一套通過實驗獲取數(shù)據(jù)并進行分析的統(tǒng)計方法。R案例 兩種方法的比較 : 小樣法 :簡單 ,快捷 ,綜合反映測量系統(tǒng)的 Ramp。R研究的準備 : 1. 確定方法 ,人員 ,被測產(chǎn)品零件數(shù) ,重復次數(shù) 2. 被測零件應為生產(chǎn)線上的產(chǎn)品 ,變差范圍能代表允差范圍 . 3. 由日常從事該測量活動的人員進行并事先培訓 小樣法實例 : 給出測量系統(tǒng)的綜合誤差 ,但無法給出引起的原因是人為還是量具 零件號 人員 A 人員 B 極差 1 4 2 2 2 3 4 1 3 6 7 1 4 5 7 2 5 9 8 1 總極差 7 1. 計算平均極差 R= 總極差 /零件數(shù) = 2. 量具綜合誤差 GRR=3. 容差的百分率 GRR%=GRR/容差 = (容差為 20) 容差百分率大于 30%, 被拒絕 大樣法實例 至少 2名測量人員 , 至少 10個工件 , 每人對每個零件至少測量 2遍 1. 零件逐一編號 2. 量具校準 3. 人員 A對零件進行測量 (隨機順序 ) 4. 人員 B,C對零件進行測量 (隨機順序 ) 5. 上述循環(huán)重復 2次 ,測量次序打亂 測量步驟 : 子組極差 : 平均極差 標準差 重復性變差 : ζ e 確定重復性 : 標準差 : 再現(xiàn)性變差 : ζ 0 測量系統(tǒng)的標準偏差 : ζ m 確定再現(xiàn)性 容差百分率 %Ramp。R的研究方法 : 1. 小樣法 2. 大樣法 3. 圖法 Ramp。 案例 \QF