第三章隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)(已改無(wú)錯(cuò)字)
2022-11-24 07:24:47 本頁(yè)面
【正文】 aaaaaa???????A?????????????????????2222120,pp??????P24 最小方差譜估計(jì) ? MV譜與 AR譜的關(guān)系 （續(xù)） 將 (8)代入 (7)，得 ? ?? ??? ????pkkkmkHpppHpHMVmjmaP 020211 /)e x p ()()()()()()(1 ???????eAPAeeRe于是，我們得到 MV譜與 AR譜之間的一個(gè)重要關(guān)系： ????pk ARMV PP 0 )(1)(1??其中 ???? kmkkARmjmaP022)e x p ()()(???25 內(nèi) 容 ? 隨機(jī)信號(hào)的特征 ? 經(jīng)典譜估計(jì)與現(xiàn)代譜估計(jì) ? 參數(shù)模型法概述 ? 基于 AR模型的譜估計(jì)法 ? 最大熵譜估計(jì)算法 ? 最小方差譜估計(jì) ? 基于矩陣特征分解的譜估計(jì) ? 高階譜估計(jì) 26 基于矩陣特征分解的譜估計(jì) ? 自相關(guān)矩陣的特征分解 ? 基于子空間的頻率估計(jì)與信號(hào)估計(jì) 27 自相關(guān)矩陣的特征分解 ? 基本原理 ? 設(shè)信號(hào) x(n)由 M個(gè)復(fù)正弦加白噪聲組成 , 分別是第 i 個(gè)復(fù)正弦的功率和頻率 , 則 x(n)的自相關(guān)函數(shù)為 iiA ?、)1()(,)()e x p()( 21Miiixx kkjAkr ????? ??? ??式中正弦信號(hào)的幅度為 為白噪聲的功率。 wiA ?,? 如果由 (p+1)個(gè) rxx(n)組成自相關(guān)矩陣： )2()0()1()1()()1()0()2()1()1()2()0()1()()1()1()0(******???????????????????????xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxprrprprrrprprprprrrprprrrxxxxxxxxxxxx?????????R28 自相關(guān)矩陣的特征分解 ?基本原理（續(xù)） 且定義信號(hào)向量： )3(,...,2,1,)]e x p () ,.. .,e x p (,1[ Mipjj Tiii ?? ??e則由 (1)(3), 有 )4(1???? MiwHiiip IeeAR ? 式中第一、二項(xiàng)分別為信號(hào)陣和噪聲陣 ,前者最大秩為 M. ? 設(shè) ，對(duì) Rp進(jìn)行特征分解得： Mp?)5()( 111111???? ???????????? pMiHiiwMiHiiwipiHiiwMiHiiip VVVVVVVVR ?????式中 Vi 是對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量 ,特征向量相互正交，即 i???????)(0)(1jijijHi VV29 自相關(guān)矩陣的特征分解 ? 基本結(jié)論 從上面討論可以看出： ? Rp的所有特征向量 V1, …, V p+1形成 p+1維向量空間 (信息空間 ), 且 V1, …, Vp+1相互正交。 ? 利用相關(guān)矩陣的特征值，可將 信息空間 分成 兩個(gè)子空間 ： － 由主特征向量 V1, …, V M 張成 信號(hào)子空間 (主分量 ) 其特征值分別為 － 由特征向量 VM+1,…, V p+1 張成 噪聲子空間 其特征值均為 ? 信號(hào)向量 e1,…e M和主特征向量 V1, …, V M張成相同的子空間 －信號(hào)子空間。 結(jié)論 :可在信號(hào)子空間或噪聲子空間進(jìn)行譜估計(jì)和頻率估計(jì) 應(yīng)用 :借助噪聲子空間噪聲特性 ,從信號(hào)子空間估計(jì)有用信號(hào) 下面考慮 p＝ M和 pM兩種情況下基于噪聲子空間的估計(jì)問(wèn)題 w?wMw ???? ?? , . . . ,130 基于矩陣特征分解的譜估計(jì) ? 自相關(guān)矩陣的特征分解 ? 基于子空間的頻率估計(jì)與信號(hào)估計(jì) PHD方法 MUSIC方法 31 ? 理論基礎(chǔ) 若 p=M, 則 (5)式中 Rp僅有 一個(gè)噪聲向量 VM+1,它所 對(duì)應(yīng)的 特征值就是噪聲方差 ，該特征值也是 Rp的最小特征 值（因?yàn)榇藭r(shí) ）?？梢宰C明，這時(shí)有 ? 定理 1 噪聲向量 VM 與信號(hào)向量 ei(i＝ 1,…, M)都正交 ,即 w?01 ??p?)6(,...,2,1,01 M
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