【正文】 =2，正方形 ABCD的頂點(diǎn)都在 C2 上，且 A， B， C， D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為（ 2，）．（ 1）求點(diǎn) A， B， C， D的直角坐標(biāo)； （ 2）設(shè) P 為 C1 上任意一點(diǎn)，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范圍． 24．已知函數(shù) f（ x） =|x+a|+|x﹣ 2|①當(dāng) a=﹣ 3 時(shí)，求不等式f（ x）≥ 3 的解集； ② f（ x）≤ |x﹣ 4|若的解集包含 [1， 2]，求 a的取值范圍． 2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給同的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（ 5 分）已知集合 A={x|x2﹣ x﹣ 2＜ 0}，B={x|﹣ 1＜ x＜ 1}，則（） A． A?BB． B?AC． A=BD． A∩ B=?【考點(diǎn)】 18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】先求出集合 A，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系可判斷【解答】解：由題意可得， A={x|﹣ 1＜ x＜ 2}，∵ B={x|﹣ 1＜ x＜ 1}，在集合 B 中的元素都屬于集合 A，但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中，例如 x=∴B?A．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合之間關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)試題． 2．（ 5 分）復(fù)數(shù) z=的共軛復(fù)數(shù)是（） A． 2+iB． 2﹣ iC．﹣1+iD．﹣ 1﹣ i【考點(diǎn)】 A1：虛數(shù)單位 i、復(fù)數(shù)； A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】利用復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)化為 a+bi的形式，然后求法共軛復(fù)數(shù)即可．【解答】解：復(fù)數(shù) z====﹣ 1+i．所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為：﹣ 1﹣ i．故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題考 查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計(jì)算能力． 3．（ 5 分）在一組樣本數(shù)據(jù)（ x1， y1），（ x2， y2），?，（ xn， yn）（ n≥ 2， x1， x2，?， xn 不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（ xi， yi）（ i=1， 2，?， n）都在直線 y=x+1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（） A．﹣ 1B． 0C． D． 1【考點(diǎn)】 BS：相關(guān)系數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 29：規(guī)律型．【分析】所有樣本點(diǎn)（ xi， yi）（ i=1， 2，?， n）都在直線 y=x+1 上，故這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為 1．【解答】解：由題 設(shè)知，所有樣本點(diǎn)（ xi， yi）（ i=1， 2，?， n）都在直線 y=x+1 上，∴這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為 1，故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查樣本的相關(guān)系數(shù)，是簡單題． 4．（ 5分）設(shè) F F2 是橢圓 E： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)， P 為直線 x=上一點(diǎn)，△ F2PF1 是底角為 30176。的等腰三角形，則 E的離心率為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 K4：橢圓的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】利用△ F2PF1 是底角為 30176。的等腰三角形，可得 |PF2|=|F2F1|，根據(jù) P 為直線 x=上一點(diǎn)，可建立 方程，由此可求橢圓的離心率．【解答】解：∵△ F2PF1 是底角為 30176。的等腰三角形，∴ |PF2|=|F2F1|∵ P 為直線 x=上一點(diǎn)∴∴故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 5．（ 5分）已知正三角形 ABC 的頂點(diǎn) A（ 1， 1）， B（ 1， 3），頂點(diǎn) C 在第一象限，若點(diǎn)（ x， y）在△ ABC 內(nèi)部，則 z=﹣ x+y 的取值范圍是（） A．（ 1﹣， 2） B．（ 0， 2） C．（﹣ 1， 2） D．（ 0，1+）【考點(diǎn)】 7C：簡單線性規(guī)劃．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】由 A， B 及△ ABC 為正三角形可得，可求 C 的坐標(biāo)，然后把三角形的各頂點(diǎn)代入可求 z 的值，進(jìn)而判斷最大與最小值，即可求解范圍【解答】解：設(shè) C（ a， b），（ a＞ 0， b＞ 0）由 A（ 1， 1）， B（ 1， 3），及△ABC 為正三角形可得， AB=AC=BC=2 即（ a﹣ 1） 2+（ b﹣ 1） 2=（ a﹣ 1）2+（ b﹣ 3） 2=4∴ b=2， a=1+即 C（ 1+， 2）則此時(shí)直線 AB 的方程 x=1，AC 的方程為 y﹣ 1=（ x﹣ 1），直線 BC 的方程為 y﹣ 3=﹣（ x﹣ 1）當(dāng)直線x﹣ y+z=0 經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 1）時(shí)， z=0，經(jīng)過點(diǎn) B（ 1， 3） z=2，經(jīng)過點(diǎn) C（ 1+， 2） 時(shí)， z=1﹣∴故選： A．【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生線性規(guī)劃的理解和認(rèn)識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．屬于基本題型． 6．（ 5 分）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù) N（ N≥ 2）和實(shí)數(shù) a1， a2，?， an，輸出 A， B，則（） A． A+B 為 a1， a2，?， an 的和 B．為 a1， a2，?，an 的算術(shù)平均數(shù) C． A 和 B 分別是 a1， a2，?， an中最大的數(shù)和最小的數(shù) D． A和 B 分別是 a1， a2，?， an 中最小的數(shù)和最大的數(shù)【考點(diǎn)】E7：循環(huán)結(jié)構(gòu)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5K：算法和程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖 所示的順序，可知：該程序的作用是求出 a1， a2，?， an 中最大的數(shù)和最小的數(shù)．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知，該程序的作用是：求出 a1， a2，?， an 中最大的數(shù)和最小的數(shù)其中 A為 a1， a2，?， an 中最大的數(shù)， B為 a1， a2，?， an 中最小的數(shù)故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)每一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，屬于中檔題． 7．（ 5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（） A． 6B． 9C． 12D． 18【考點(diǎn)】 L!：由三視圖求面積、體積．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】通過三視圖判斷幾何體的特征，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可．【解答】解：該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，三棱錐的高為 3； 底面三角形斜邊長為 6，高為 3 的等腰直角三角形，此幾何體的體積為 V= 6 3 3=9．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，考查幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力． 8．（ 5 分）平面α截球 O 的球面所得圓的半徑為 1，球心 O 到平面α的距離為，則此球的體積為（） A．π B． 4π C． 4π D． 6π【考點(diǎn)】 LG：球的體積和表面積．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】利用平面α截球 O 的球面所得圓的半徑為 1，球心 O到平面α的距離為，求出球的半徑，然后求解球的體積．【解答】解：因?yàn)槠矫姒两厍?O的球面所得圓的半徑為 1，球心 O 到平面α的距離為，所以球的半徑為： =．所以球的體積為： =4π．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積的求法，考查空間想象能力、計(jì)算能力． 9．（ 5 分）已知ω＞ 0， 0＜φ＜π，直線 x=和 x=是函數(shù)f（ x） =sin（ω x+φ）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則φ =（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 HK：由 y=Asin（ω x+φ）的部分圖象確定其解析式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】通過函數(shù)的對(duì)稱軸求出函數(shù)的周期，利用對(duì)稱軸以及φ的范圍，確定φ的值即可．【解答】解：因?yàn)橹本€ x=和 x=是函數(shù) f（ x） =sin（ω x+φ）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，所以 T==2π．所以ω =1，并且 sin（ +φ）與 sin（ +φ）分別是最大值與最小值，0＜φ＜π，所以φ =．故選： A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 10．（ 5 分）等軸雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn) 在 x 軸上， C與拋物線 y2=16x 的準(zhǔn)線交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B， |AB|=4，則 C 的實(shí)軸長為（） A． B． C． 4D． 8【考點(diǎn)】KI：圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 16：壓軸題．【分析】設(shè)等軸雙曲線 C： x2﹣ y2=a2（ a＞ 0）， y2=16x的準(zhǔn)線 l： x=﹣ 4，由 C 與拋物線 y2=16x 的準(zhǔn)線交于 A， B 兩點(diǎn)，能求出 C 的實(shí)軸長．【解答】解：設(shè)等軸雙曲線 C： x2﹣ y2=a2（ a＞ 0）， y2=16x的準(zhǔn)線 l： x=﹣ 4，∵ C 與拋物線 y2=16x 的準(zhǔn)線 l： x=﹣ 4交于 A， B 兩點(diǎn)，∴ A（﹣ 4， 2）， B（﹣ 4，﹣ 2），將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得 =4，∴ a=2， 2a=4．故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化． 11．（ 5 分）當(dāng) 0＜ x≤時(shí)， 4x＜ logax，則 a 的取值范圍是（） A．（ 0，） B．（， 1） C．（ 1，） D．（， 2）【考點(diǎn)】 7J：指、對(duì)數(shù)不等式的解法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 16：壓軸題．【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將已知不等式轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題加以解決即可【解答】解：∵ 0＜ x≤時(shí) ， 1＜ 4x≤ 2要使 4x＜ logax，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得 0＜ a＜ 1，數(shù)形結(jié)合可知只需 2＜ logax，∴即對(duì) 0＜ x≤時(shí)恒成立∴解得＜ a＜ 1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式恒成立問題的一般解法，屬基礎(chǔ)題 12．（ 5 分）數(shù)列 {an}滿足 an+1+（﹣ 1） nan=2n﹣ 1，則 {an}的前 60 項(xiàng)和為（） A． 3690B． 3660C． 1845D． 1830【考點(diǎn)】 8E：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得 a2﹣ a1=1， a3+a2=3， a4﹣ a3=5， a5+a4=7，a6﹣ a5=9， a7+a6=11，? a50﹣ a49=97，變形可得 a3+a1=2， a4+a2=8，a7+a5=2， a8+a6=24， a9+a7=2， a12+a10=40， a13+a11=2， a16+a14=56，?利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，求出 {an}的前 60 項(xiàng)和．【解答】解：由于數(shù)列{an}滿足 an+1+（﹣ 1） nan=2n﹣ 1，故有 a2﹣ a1=1， a3+a2=3， a4﹣ a3=5，a5+a4=7， a6﹣ a5=9， a7+a6=11，? a50﹣ a49=97．從而可得 a3+a1=2，a4+a2=8， a7+a5=2， a8+a6=24， a11+a9=2， a12+a10=40， a15+a13=2，a16+a14=56，?從第一項(xiàng)開始，依次取 2 個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于 2，從第二項(xiàng)開始，依次取 2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以 8為首項(xiàng)，以 16 為公差的等差數(shù)列． {an}的前 60 項(xiàng)和為 15 2+（ 15 8+） =1830，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列求和的方法，等差數(shù)列的求和公式，注意利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題． 二．填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分． 13．（ 5 分）曲線 y=x（ 3lnx+1）在點(diǎn)（ 1， 1）處的切 線方程為 y=4x﹣ 3 ．【考點(diǎn)】 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，再求切線的方程．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)，可得 y′ =3lnx+4，當(dāng) x=1 時(shí)， y′ =4，∴曲線 y=x（ 3lnx+1）在點(diǎn)（ 1， 1）處的切線方程為 y﹣ 1=4（ x﹣ 1），即 y=4x﹣ 3．故答案為： y=4x﹣ 3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題． 14．（ 5分）等比數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 S3+3S2=0，則公比 q= ﹣ 2 ．【考點(diǎn)】 89：等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】由題意可得， q≠ 1，由 S3+3S2=0，代入等比數(shù)列的求和公式可求q【解答】解：由題意可得， q≠ 1∵ S3+3S2=0∴∴ q3+3q2﹣ 4=0∴（ q﹣1）（ q+2） 2=0∵ q≠ 1∴ q=﹣ 2 故答案為：﹣ 2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題中要注意公比 q 是否為 1 15．（ 5分）已知向量夾角為 45176。，且，則 = 3 ．【考點(diǎn)】 9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算； 9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 16：壓軸題．【分析】由已知可得， =，代入 |2|====可求【解答】解：∵， =1∴ =∴ |2|====解得故答案為： 3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積定義的應(yīng)用，向量的數(shù)量積性質(zhì) ||=是求解向量的模常用的方法 16．（ 5 分）設(shè)函數(shù) f（ x） =的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m= 2 ．【考點(diǎn)】 3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】函數(shù)可化為 f（ x