【正文】 ． 1．（ 5分）已知集合 A={x|x2﹣ x﹣ 2＜ 0}， B={x|﹣ 1＜ x＜ 1}，則（） A． A?BB． B?AC． A=BD． A∩ B=?2．（ 5 分）復(fù)數(shù) z=的共軛復(fù)數(shù)是（） A． 2+iB． 2﹣ iC．﹣ 1+iD．﹣ 1﹣ i3．（ 5分）在一組樣本數(shù)據(jù)（ x1， y1），（ x2， y2），?，（ xn， yn）（ n≥ 2， x1， x2，?，xn 不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（ xi， yi）（ i=1， 2，?， n）都在直線 y=x+1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（） A．﹣1B． 0C． D． 14．（ 5 分）設(shè) F F2 是橢圓 E： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)， P 為直線 x=上一點(diǎn)，△ F2PF1 是底角為 30176。且，則 = ． 16．（ 5分）設(shè)函數(shù) f（ x） =的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m= ． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（ 12 分）已 知 a， b， c 分別為△ ABC三個(gè)內(nèi)角 A，B， C 的對(duì)邊， c=asinC﹣ ccosA．（ 1）求 A； （ 2）若 a=2，△ ABC 的面積為，求 b， c． 18．（ 12 分）某花店每天以每枝 5 元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理．（Ⅰ）若花店一天購(gòu)進(jìn) 17 枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn) y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量 n（單位：枝， n∈ N）的函數(shù)解析式．（Ⅱ）花店記錄了 100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得如表： 日需求量 n14151617181920 頻數(shù) 10202116151310（ i）假設(shè)花店在這 100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn) 17 枝玫瑰花，求這 100 天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； （ ii）若花店一天購(gòu)進(jìn) 17 枝玫瑰花，以 100 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于 75 元的概率． 19．（ 12分）如圖，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ ACB=90176?！?ABD 的面積為，求 p 的值及圓 F 的方程； （ 2）若 A， B， F三點(diǎn)在同一直線 m上，直線 n與 m平行，且 n與C 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到 m， n 距離的比值． 21．（ 12 分）設(shè)函數(shù) f（ x） =ex﹣ ax﹣ 2．（Ⅰ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若 a=1， k 為整數(shù)，且當(dāng) x＞ 0 時(shí)，（ x﹣ k） f′（ x） +x+1＞ 0，求 k的最大值． 22．（ 10 分）如圖， D， E 分別為△ ABC邊 AB， AC的中點(diǎn)，直線 DE交△ ABC的外接圓于 F， G兩點(diǎn)，若 CF∥ AB，證明： （ 1） CD=BC； （ 2）△ BCD∽△ GBD． 23．選修 4﹣ 4； 坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線 C1 的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線 C2 的坐標(biāo)系方程是ρ =2，正方形 ABCD的頂點(diǎn)都在 C2 上，且 A， B， C， D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為（ 2，）．（ 1）求點(diǎn) A， B， C， D的直角坐標(biāo)； （ 2）設(shè) P 為 C1 上任意一點(diǎn)，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范圍． 24．已知函數(shù) f（ x） =|x+a|+|x﹣ 2|①當(dāng) a=﹣ 3 時(shí)，求不等式f（ x）≥ 3 的解集； ② f（ x）≤ |x﹣ 4|若的解集包含 [1， 2]，求 a的取值范圍． 2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給同的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（ 5 分）已知集合 A={x|x2﹣ x﹣ 2＜ 0}，B={x|﹣ 1＜ x＜ 1}，則（） A． A?BB． B?AC． A=BD． A∩ B=?【考點(diǎn)】 18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】先求出集合 A，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系可判斷【解答】解：由題意可得， A={x|﹣ 1＜ x＜ 2}，∵ B={x|﹣ 1＜ x＜ 1}，在集合 B 中的元素都屬于集合 A，但是在集合 A 中的元素不一定在集合 B 中，例如 x=∴B?A．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合之間關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)試題． 2．（ 5 分）復(fù)數(shù) z=的共軛復(fù)數(shù)是（） A． 2+iB． 2﹣ iC．﹣1+iD．﹣ 1﹣ i【考點(diǎn)】 A1：虛數(shù)單位 i、復(fù)數(shù)； A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】利用復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)化為 a+bi的形式，然后求法共軛復(fù)數(shù)即可．【解答】解：復(fù)數(shù) z====﹣ 1+i．所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為：﹣ 1﹣ i．故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題考 查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計(jì)算能力． 3．（ 5 分）在一組樣本數(shù)據(jù)（ x1， y1），（ x2， y2），?，（ xn， yn）（ n≥ 2， x1， x2，?， xn 不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（ xi， yi）（ i=1， 2，?， n）都在直線 y=x+1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（） A．﹣ 1B． 0C． D． 1【考點(diǎn)】 BS：相關(guān)系數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 29：規(guī)律型．【分析】所有樣本點(diǎn)（ xi， yi）（ i=1， 2，?， n）都在直線 y=x+1 上，故這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為 1．【解答】解：由題 設(shè)知，所有樣本點(diǎn)（ xi， yi）（ i=1， 2，?， n）都在直線 y=x+1 上，∴這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為 1，故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查樣本的相關(guān)系數(shù)，是簡(jiǎn)單題． 4．（ 5分）設(shè) F F2 是橢圓 E： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)， P 為直線 x=上一點(diǎn)，△ F2PF1 是底角為 30176。的等腰三角形，可得 |PF2|=|F2F1|，根據(jù) P 為直線 x=上一點(diǎn)，可建立 方程，由此可求橢圓的離心率．【解答】解：∵△ F2PF1 是底角為 30176。且，則 = 3 ．【考點(diǎn)】 9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算； 9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 16：壓軸題．【分析】由已知可得， =，代入 |2|====可求【解答】解：∵， =1∴ =∴ |2|====解得故答案為： 3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積定義的應(yīng)用，向量的數(shù)量積性質(zhì) ||=是求解向量的模常用的方法 16．（ 5 分）設(shè)函數(shù) f（ x） =的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m= 2 ．【考點(diǎn)】 3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】函數(shù)可化為 f（ x） ==，令，則為奇函數(shù)，從而函數(shù)的最大值與最小值的和為 0，由此可得函數(shù) f（ x） =的最大值與 最小值的和．【解答】解：函數(shù)可化為 f（ x） ==，令，則為奇函數(shù)，∴的最大值與最小值的和為 0．∴函數(shù) f（ x） =的最大值與最小值的和為 1+1+0=2．即 M+m=2．故答案為： 2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的奇偶性，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的奇偶性解題． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（ 12 分）已知 a， b， c分別為△ ABC 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊，c=asinC﹣ ccosA．（ 1）求 A； （ 2）若 a=2，△ ABC 的面積為，求 b， c．【考點(diǎn)】 HU：解三角形 ．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】（ 1）由正弦定理有： sinAsinC﹣ sinCcosA﹣ sinC=0，可以求出 A； （ 2）有三角形面積以及余弦定理，可以求出 b、 c．【解答】解：（ 1） c=asinC﹣ ccosA，由正弦定理有： sinAsinC﹣ sinCcosA﹣ sinC=0，即 sinC?（ sinA﹣ cosA﹣ 1） =0，又， sinC≠ 0，所以 sinA﹣ cosA﹣ 1=0，即 2sin（ A﹣） =1，所以 A=； （ 2） S△ ABC=bcsinA=，所以 bc=4， a=2，由余弦定理得 ： a2=b2+c2﹣ 2bccosA，即 4=b2+c2﹣ bc，即有，解得 b=c=2．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，誘導(dǎo)公式與輔助角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用是求解的基礎(chǔ)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式 18．（ 12 分）某花店每天以每枝 5 元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理．（Ⅰ）若花店一天購(gòu)進(jìn) 17 枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn) y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量 n（單位：枝，n∈ N）的函數(shù)解析式．（Ⅱ）花店記錄了 100 天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得如表： 日需求量 n14151617181920 頻數(shù) 10202116151310（ i）假設(shè)花店在這 100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn) 17 枝玫瑰花，求這 100 天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； （ ii）若花店一天購(gòu)進(jìn) 17 枝玫瑰花，以 100 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于 75 元的概率．【考點(diǎn)】 36：函數(shù)解析式的求解及常用方法； BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)； CS：概率的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 15：綜合題； 5I： 概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)賣出一枝可得利潤(rùn) 5 元，賣不出一枝可得賠本 5元，即可建立分段函數(shù)； （Ⅱ）（ i）這 100 天的日利潤(rùn)的平均數(shù)，利用 100 天的銷售量除以 100 即可得到結(jié)論； （ ii）當(dāng)天的利潤(rùn)不少于 75 元，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于 16 枝，故可求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于 75 元的概率．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)日需求量n≥ 17 時(shí)，利潤(rùn) y=85； 當(dāng)日需求量 n＜ 17時(shí)，利潤(rùn) y=10n﹣ 85； （ 4 分）∴利潤(rùn) y 關(guān)于當(dāng)天需求量 n 的函數(shù)解析式（ n∈ N*）（ 6 分）（Ⅱ）（ i）這 100 天的日利潤(rùn)的平 均數(shù)為元； （ 9 分）（ ii）當(dāng)天的利潤(rùn)不少于 75 元，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于 16 枝 ， 故 當(dāng) 天 的 利 潤(rùn) 不 少 于 75 元 的 概 率 為P=++++=．（ 12 分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)解析式的確定，考查概率知識(shí)，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題． 19．（ 12 分）如圖，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，側(cè)棱垂直底面，∠ ACB=90176?！唷?CDC1=90176。△ ABD 的面積為，求 p 的值及圓 F 的方程 ； （ 2）若 A， B， F三點(diǎn)在同一直線 m上，直線 n與 m平行，且 n與C 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到 m， n距離的比值．【考點(diǎn)】 J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； K8：拋物線的性質(zhì)； KI：圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】（ 1）由對(duì)稱性知：△ BFD 是等腰直角△，斜邊 |BD|=2p點(diǎn) A 到準(zhǔn)線 l的距離，由△ ABD的面積 S△ ABD=，知 =，由此能求出圓 F 的方程．（ 2）由對(duì)稱性設(shè)，則點(diǎn) A， B 關(guān)于點(diǎn) F 對(duì)稱得：，得：，由此能求出坐標(biāo)原點(diǎn)到 m， n 距離的比值．【解答】 解：（ 1）由對(duì)稱性知：△ BFD是等腰直角△，斜邊 |BD|=2p點(diǎn) A 到準(zhǔn)線 l 的距離，∵△ ABD 的面積 S△ ABD=，∴ =，解得 p=2，所以 F 坐標(biāo)為（ 0， 1），∴圓F 的方程為 x2+（ y﹣ 1） 2=8．（ 2）由題設(shè)，則，∵ A， B， F三點(diǎn)在同一直線 m 上，又 AB 為圓 F的直徑，故 A， B 關(guān)于點(diǎn) F對(duì)稱．由點(diǎn) A， B 關(guān)于點(diǎn) F 對(duì)稱得： 得：，直線，切點(diǎn)直線坐標(biāo)原點(diǎn)到 m， n距離的比值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行 等價(jià)轉(zhuǎn)化． 21．（ 12 分）設(shè)函數(shù) f（ x） =ex﹣ ax﹣ 2．（Ⅰ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若 a=1， k 為整數(shù)，且當(dāng) x＞ 0 時(shí)，（ x﹣ k） f′（ x） +x+1＞ 0，求 k 的最大值．【考點(diǎn)】 6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性； 6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題； 32：分類討論； 35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母 a，故應(yīng)按 a 的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間 ； （ II）由題設(shè)條件結(jié)合（ I），將不等式，（ x﹣ k） f180。（ x） +x+1=（ x﹣ k）（ ex﹣ 1）+x+1 故當(dāng) x＞ 0 時(shí)，（ x﹣ k） f1