【正文】 稱，且在 ? =? 處有一零點，使 H(? )=0，這樣，對于高通和帶阻不適合采用這種情況。 3) h(n)=h(Nn1),N=奇數(shù) H(? )= ???2/)1(1 sin)(Nn nnc ? 式中 c(n)=2h( 21?N n),N=1,2,.., 21?N 由于在 ? =0, ??2, 時，正弦項為零，因此幅度特性 H(? )在 ? =0, ??2, 處為零，即在 z= 1? 處是零點，且 H(? )對 ? =0, ??2, 呈奇對稱形式。 4) h(n)=h(Nn1),N=偶數(shù) H(? )=?? ?2/1 21 )](sin[)(Nn nnd ? 式中 d(n)=2h( 2N n),n=1,2,3… ,2N 由 式，因為正弦項在 ? =0, ?2 處為零，因此幅度特性 H(? )在 ? =0, ?2 處為零，即在 z= 1處有一個零點，且 H(? )對 ? =0, ?2 奇對稱形式，對 ? =? 呈偶對稱。 結(jié)論 ： (1)h(n)偶對稱 H(? )=? ?????1012 ])c os [()(NnNnnh ? )(?? =?12(N1)? 幅度函數(shù) H(? )包括正負(fù)值，相位函數(shù)是嚴(yán)格線性相位，說明濾波器有 (N1)/2 個抽樣的延時，它等于單位抽樣響應(yīng) h(n)長度的一半。圖 1 中，線性相位無 ?90 附加相移，幅度函數(shù)在 ? 處存在零點，且對 ? =? 呈奇對稱，因此不適合作高通濾波器。圖 2 中，線性相位無 ?90 附加相移，幅度函數(shù)在 ? =0, ??2, 呈偶對稱，因此適合做低通 、 高通濾波器。 (2)h(n)奇對稱 H(? )=?????1012 ])(sin[)(NnNnh ?? )(?? =( 12??N )? ?2? 相位函數(shù)仍是線性，但在零頻率 (? =0)處有 ? /2 的截距。不僅有 (N1)個抽樣的延時，還產(chǎn)生一個 ? /2 的相移。圖 3 中，線性相位有 ?90 附加相移，幅度函數(shù)在 0、2? 處為零點，且對 ? =0、 2? 呈奇對稱，對 ? =? 呈偶對稱。圖 4 中，線性相位有 ?90 附加相移，幅度函數(shù)在 0 ??2, 處為零，且對 ? =0 ??2, 呈奇對稱。圖 圖 4 所示的濾波器均適合 在微分器和 ?90 移相器中應(yīng)用。 4 線性相位 FIR 濾波器零點位置 由 H(z)=? )1(??kz H( 1?z )可以得出，如果 z= iz 是 H(z)的零點，則 z=1/ iz 也一定是H(z)的零點，當(dāng) h(n)是實數(shù)時， H(z)的零點必成共軛對出現(xiàn)，所以 1/ iz 也一定是H(z)的零點。因而線性相位 FIR 濾波器的零點必是互為倒數(shù)的共軛對。 利用窗函數(shù)法設(shè)計 FIR濾波器 1 設(shè)計思路 設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為 dH ( ?je ), dh (n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)， dH ( ?je )= njn d enh??????? )( dh (n)= ?21 ??? ?? deeH njjd?? )( 首先給定所要求的理想濾波器頻率響應(yīng) dH ( ?je )，由 dH ( ?je )導(dǎo)出 dh (n)，但它是無限長序列，且是非因果序列。而要設(shè)計的 FIR 濾波器，其 h(n)是有限長 ，所以要用一個有限長 h(n)來逼近函數(shù)： dh (n)=?21 ??? ?? deeH njjd?? )(，有效方法是截取 dh (n)或取窗函數(shù)（有限長度），一般表示為 h(n)=? (n)dh (n),這里 ? (n)就是窗口函數(shù)。常用的窗口函數(shù)有矩形窗 、 三角形窗 、 升余 弦窗 (漢寧窗 )、 改進的升余弦窗 (海明窗 )、 二階升余弦窗 (布拉克曼窗 )、 凱塞窗。 對窗函數(shù)一般有兩個方面的要求： (1)主瓣盡可能窄，以使設(shè)計出的濾波器具有較陡的過渡帶。 (2)旁瓣盡可能少，即應(yīng)使其能量集中在主瓣內(nèi)，使設(shè)計出的濾波器肩峰和余振較小，阻帶衰減較大。 對任一具體窗函數(shù)來說，這兩項要求相互矛盾，無法同時滿足，只能根據(jù)具體的設(shè)計指標(biāo)選擇一種較為合適的窗函數(shù)。 表 六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 窗函數(shù) 旁瓣峰值幅度 /dB 過渡帶寬 ?? 阻帶最小衰減 /dB 矩形窗 13 4? /N 21 三角形窗 25 8? /N 25 漢寧窗 31 8? /N 44 海明窗 41 8? /N 53 布拉克曼窗 57 12? /N 74 凱塞窗 57 10? /N 80 2 用窗函數(shù)法設(shè)計 FIR 濾波器的步驟 1給定所待求的頻率響應(yīng)函數(shù) dH ( ?je )； 2 根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng) dh (n)。由 dH ( ?je )的傅立葉反變換導(dǎo)出 dh (n)。即 dh (n)=IDFT[ dH ( ?je )]； dh (n)=?21 ??? ?? deeH njjd?? )( 3 由過渡帶寬及阻帶最小衰減要求，比對 6 種窗函數(shù)基本參數(shù)選定窗函數(shù) ? (n)及 N 值。求得 FIR 濾波器的單位抽樣響應(yīng) h(n)= ? (n)dh (n),n=0,1,..,N1。 4驗算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。求設(shè)計出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計算： H( ?je )=???10 )(Nn nhnje?? ； 即 H( ?je )=DTFT[h(n)] 檢驗是否滿足要求，如果 H( ?je )不滿足要求根據(jù)具體情況重復(fù) 4 步，直到滿足要求。 注：窗函數(shù)法是從時域出發(fā)的一種設(shè)計方法，若技術(shù)指標(biāo)在頻域給 出的，則用頻率采樣法設(shè)計 FIR 濾波器。本論文不涉及頻率采樣法設(shè)計 FIR 濾波器。 3 設(shè)計實例 設(shè)計理想 FIR 線性濾波器，已知????? ???????其它0,1)(??????? ccjd eH 故單位沖激響應(yīng)為 ? ??????? ?? clc dedenhNnjNnjd ?? ?? ?? ???? )21()2 1(2 12 1)( =)2 1(])2 1s in [ ()]2 1(s in [???????NnNnNnC??? 若 N 為奇數(shù)，當(dāng) n= 21?N 時，由上式得 h( 21?N )=1??c 當(dāng) n 21??N 時，)2 1()]2 1(sin[????NnNn?? =0 設(shè)截止頻率 4???c， h(n)的長度 N=21，則 FIR 濾波器的 MATLAB 實現(xiàn)程序如下： clear。 close all。 N=21。 wc=3*pi/4。 n=0:N1。 r=(N1)/2。 hdn=sin(wc*(nr))/pi/(nr)。 if rem(N,2)~=0 hdn(r+1)=1(wc/pi)。 end hn1=fir1(N1,wc/pi,39。high39。,boxcar(N))。 hn2=fir1(N1,wc/pi,39。high39。,hamming(N))。 subplot(2,2,1) stem(n,hn1,39。.39。) line([0,20],[0,0])。 title(39。矩形窗設(shè)計的 h(n)39。)。 xlabel(39。n39。)。ylabel(39。h(n)39。)。 subplot(2,2,3) stem(n,hn2,39。.39。) line([0,20],[0,0])。 title(39。hamming 窗設(shè)計的 h(n)39。)。 xlabel(39。n39。)。ylabel(39。h(n)39。)。 hn11=fft(hn1,512)。 w=2*[0:511]/512。 subplot(2,2,2) plot(w,20*log10(abs(hn11))) grid。 axis([0,2,80,5])。 title(39。幅度特性 39。)。 xlabel(39。w/pi39。)。ylabel(39。幅度 (dB)39。)。 hn22=fft(hn2,512)。 subplot(2,2,4) plot(w,20*log10(abs(hn22))) grid axis([0,2,80,5])。 title(39。幅度特性 39。)。 xlabel(39。w/pi39。)。ylabel(39。幅度 (dB)39。)。 用矩形窗和 hamming 窗設(shè)計的 FIR 高通濾波器 3 FIR 數(shù)字濾波器的 FPGA 實現(xiàn) 在上一章中，我們已經(jīng)對數(shù)字濾波器的一般設(shè)計方法（窗函數(shù)法）進行了說明。本章主要對數(shù)字濾 波器的結(jié)構(gòu)進行分析，展示 FIR轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)濾波器原理圖，以及如何用 FPGA 實現(xiàn) FIR 數(shù)字濾波器，即如何用 VHDL 編程并在 QuartusⅡ中進行邏輯綜合及時序仿真。 FIR 濾波器原理 串行結(jié)構(gòu)的最大優(yōu)點是實現(xiàn)簡單，串行設(shè)計只需要一個乘法器，一個循環(huán)移位寄存器 (或 RAM結(jié)構(gòu) )，一個只讀存儲器。當(dāng)對電路運行速度要求不高時，采用此種結(jié)構(gòu)將大大節(jié)省硬件資源。此時通過提高內(nèi)部時鐘方法，輸入信號數(shù)據(jù)率為 1MHz的 16階串行濾波器，移位寄存器的觸發(fā)時鐘和計數(shù)器時鐘為 16MHz,計數(shù)器給系數(shù)ROM地址產(chǎn)生權(quán)系數(shù)與移 位寄存器串行輸出的數(shù)據(jù)乘法累加輸出。計數(shù)器每 16個時鐘給乘法累加器一個清零時鐘信號。 傳統(tǒng)算法強調(diào)乘 累加 (multiplyaccumulate,MAC)的。比如下式給出了線性卷積和。 ??? ??? 10 ][][][*][][ Lk knxkfnxnfny 對于每次采樣 ][ny 都需要進行 L次連續(xù)乘法和 L1次加法操作來計算乘積之和。這種做法所需的硬件電路規(guī)模比較大，而且電路的執(zhí)行速度也比較慢。對于傳統(tǒng) PDSP的 MAC，計算乘積還有另一種方法 DA算法。 分布式算法 (distributed arithmetic,DA)是一項重要的 FPGA技術(shù)，廣泛應(yīng)用在計算乘積和 ??? ????? 10 ][][, Nn nxncxcy 中 當(dāng)使用傳統(tǒng)算法單元完成一個濾波周期時，大約需要用 N個 MAC循環(huán)。使用流水線可以縮短這一數(shù)量，但也非常有限，仍舊非常長。當(dāng)使用通用乘法器 (SOP,sum of products)時，這就成了一個簡單問題了。 為了理解 DA設(shè)計范例，考慮“乘積和”如下： ??? ????? 10 ][][, Nn nxncxcy = ]1[]1[.....]1[]1[]0[]0[ ????? NxNcxcxc 假設(shè)系數(shù) ][nc 是已知常數(shù)， ][nx 是變量。無符號 DA系統(tǒng)假設(shè)變量 ][nx 的表達(dá)式如下： ??? ??? 10 ]1,0[][,2][][ Bb bbb nxnxnx 其 中 ][nxb 表示 ][nx 的第 b 位，而 ][nx 也就是 x 的 n 第次采樣，而內(nèi)積 y 可以表示為： ? ????? ???1010 2][][NnBbbb kxncy 重新分別求和 (分布式算法的由來 )，其結(jié)果如下： )2]0[....2]0[2]0[](0[ 002211 xxxcy BBBB ???? ???? + )2]0[....2]1[2]1[](1[ 002211 xxxc BBBB ??? ???? . . . + )2]1[...2]2[](1[ 0011 ????? ?? NxNxNc BB = 1111 2])1[]1[...]1[]1[]0[]0[( ???? ????? BBBB NxNcxcxc + 2222 2])1[]1[....]1[]1[]0[]0[( ???? ????? BBBB NxNcxcxc . . . + 0000 2])1[]1[...]1[]1[]0[]0[( ????? NxNcxcxc 或者可以寫成簡潔的如下形式： ? ? ? ??? ?