【正文】 ??? .),()( dxtxt ?? (33) 經(jīng)典的理論表明當(dāng)平均等待時(shí)間以及跳躍長(zhǎng)度的方差均有界時(shí)，即 ?? ??0 )( ttdt? (34) ??????? .)( 22 xxdx? (35) 此時(shí)，由中心極限定理可以得到tt NS收斂于正態(tài)分布，然而在很多情況下，平均等待時(shí)間或者跳躍長(zhǎng)度的方差是無(wú)界的 ，此時(shí)常規(guī)的中心極限定理是不適用的。連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走模型與微分方程之間有如下介紹的關(guān)系 ，見(jiàn)于參考文獻(xiàn) [1]。39。39。39。39。其 Laplace 變換為 u uu )(1)(^^ ?? ?? (38) 故有 ? ?? t tttxdttxp 0 39。39。 反常擴(kuò)散模型的模擬 當(dāng)?shù)却龝r(shí)間服從指數(shù)分布，而跳躍長(zhǎng)度服從 Gaussian 分布時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程為標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)散方程，即 ).,(21),( 22 txpxtxpt ????? (311) 而當(dāng)?shù)却龝r(shí)間服從冪律分布時(shí)，即 ?? ??? tttP ))(( ，而且跳躍長(zhǎng)度同樣服從 Gaussian分布時(shí)， ),( txp 滿(mǎn)足分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程 ).,(21),( 22 txpxtxpt ????? ?? (312) 由連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走，在假定等待時(shí)間服從冪律分布，跳躍長(zhǎng)度服從正態(tài)分布的情況下可以得到分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，是否能夠找到一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，使得其概率密度函數(shù)恰好也滿(mǎn)足分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，在 參考文獻(xiàn) [1]中已經(jīng)證明了隨機(jī)過(guò)程 ))(( tSB ? 是該方程的隨機(jī)表示，即其概率密度函數(shù) 為方程 的解，其中 )(?B 為布朗運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)表示為 ( ) inf { : ( ) }S t U t??????， (313) 它與 )(?B 相互獨(dú)立。令 ),( ?xf ， ),( tg? ， ),( txp 分別為 )(?B ， )(tS? ， ))(( tSB 的概率密度函數(shù)，則由全概率公式，得： ???? 0 ),(),(),( ??? dtgxftxP (315) 由數(shù)學(xué)期望定義，有： ))](,([),( tSxfEtxP ?? (316) 由于 ),( ?xf 是 )(?B 的概率密度函數(shù)，因此： ???? 2221),(xexf ?? (317) 故 22 ( )1( , ) [ ]2 ( ) xStP x t E eSt ????? (318) 在這里我們不得不提到概率論里面的大數(shù)定律，所謂大數(shù)定律就是，在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下后哪一面朝上本來(lái)是偶然的，但當(dāng)我們上拋硬幣的次數(shù)足夠多后，達(dá)到上萬(wàn)次甚至幾十萬(wàn)幾百萬(wàn)次以后，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，硬幣每一面向上的次數(shù)約占總次數(shù)的二分之一。 所以，由大數(shù)定律可以得出，對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)度量序列， nxxxx ?321 , ，若 ,ixiE ??則有 1)|11(| 1 1lim ???? ?? ???? ni ni iin nxnP ?? (319) 即 ?? ?? iPni i nxn ?11 1 ， (320) 當(dāng) ???? ???? n?21 時(shí)，iPi Exxn ??? ?1。 因此，只要模擬出 })(。即 })(。 由此，我們可以得到 )(tS? 的樣本軌道（見(jiàn)圖 ）。 圖 圖 中實(shí)線(xiàn)部分為 ?? ，蒙特卡洛模擬法在計(jì)算機(jī)中模擬 50000 次的結(jié)果，很明顯該結(jié)果相較于 1?? 時(shí)的圖像具有尖峰厚尾性質(zhì)。 23 第 4章 反常擴(kuò)散模型在 VaR 方法中應(yīng)用 正態(tài)分布下 VaR 的具體計(jì)算 假設(shè) )(Wf 是某一種資產(chǎn)組合的概率密度函數(shù)，由 VaR 的定義可以知道： ????W dxxfC )( (41) 由上式可以知道，在已經(jīng)給定的的置信度 C 下面，我們能夠找到 *W ，使得 W 高于 *W 的概率為 C 。 由 VaR 的定義我們可以知道，如果 R 服從正態(tài)分布，想要求出在置信度 C 下的 *R ， 只需要在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中間找到一個(gè)臨界值正數(shù) a ，使得 ????? a dxxC )(? (42) 從而有 t tRa ????? ? ?* (43) 即 ttaR ????? ??* (44) 將（ 4）式與 ))(( *0 RREWVa R ?? 結(jié)合。見(jiàn)于參考文獻(xiàn) [2]。 已知在非正態(tài)分布下，收益率分布會(huì)呈現(xiàn)尖峰厚尾現(xiàn)象。 反常擴(kuò)散下，假設(shè)收益率 R 服從： ),( 2 tN ???? ，在這里，它的概率密度函數(shù)就是前面提到的式 (47) 假設(shè) ? ?? ??? a x dxea 2221)( ? (48) 所以 ? ??? ?? ??a a x dxedxxf ??? 2 221),( (49) 令?xy?，原式即 變 為 ? ?? ? ??? ??a y adye )(21 22 (410) 令 )(xN 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的密度函數(shù)，即 ? ?? ??? x dex ?? ?2221)( (411) 累積函數(shù)為： 25 ? ?? ?? ????????????????????????000),(),(),(),(),(),(),(aaaad x dxftgd x dtgxfdxdtgxfdxtxp????????? (412) 前面已經(jīng)求出 ??? ??a adxxf )(),( ?? ，所以 累積函數(shù)原式即可變化為 ??? ?????0 1),()( Cdtga ??? (413) 這樣， a 就能夠通過(guò)該式求出，由于需要大量數(shù)據(jù)處理，一般可以通過(guò) 程序模擬求出。 VaR 方法是目前對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)和管理的一種重要工具和主流方法 。將 VaR 引入金融市場(chǎng)投資風(fēng)險(xiǎn)管理中，以有效提高資金運(yùn)用的穩(wěn)健性，并保障收益性和可持續(xù)性。本文總結(jié)了國(guó)內(nèi)外將 VaR 方法用于風(fēng)險(xiǎn)管理的不同計(jì)算方法和發(fā)展歷程，為以后在實(shí)際中的應(yīng)用提供鋪墊。本文集中介紹了這三種方法的發(fā)展歷史，各自的應(yīng)用范圍、應(yīng)用方式和優(yōu)點(diǎn)與缺陷。這樣可以完整地論述本文的目的。 難點(diǎn)：影響風(fēng)險(xiǎn)管理效果的外部宏觀因素有很多，如何才能把風(fēng)險(xiǎn)管理與 VaR 模型之間的關(guān)系成為了本文研究的難點(diǎn)?？梢?jiàn)風(fēng)險(xiǎn)管理是當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)大潮下不得回避的大學(xué)問(wèn)。 很快的，摩根大通銀行在 90 年代退出了度量風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算方法 VaR 模型，這一廣受好評(píng)的計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)模型經(jīng)久不衰，進(jìn)入到新世紀(jì)以后，特別是在國(guó)內(nèi)， VaR 方法幾經(jīng)研究，各種優(yōu)化改進(jìn)的方式層出不窮。 28 參考文獻(xiàn) [1] 呂龍進(jìn)． 分?jǐn)?shù)階奇異擴(kuò)散方程的幾種解法及其應(yīng)用 [M]． 上海市 ： 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系博士論文 ， 20xx. [2] 王春峰 , 萬(wàn)海暉 , 張維 . VaR 模型計(jì)算方法及應(yīng)用 —— VaR[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào) , 20xx, 15(1): 6775. 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[27] ,Simulation and Chaotic Behavior of ? stable stochastic processes, Marcel Dekker, New . 30 致謝 本學(xué)位論文是在我的指導(dǎo)老師 呂龍進(jìn) 老師的親切關(guān)懷與細(xì)心指導(dǎo)下完成的。呂老師也是我所崇拜的偶像之一，淵博的數(shù)學(xué)知識(shí)和龐大的智力海洋構(gòu)成了呂老師強(qiáng)大的邏輯和杰出的才能 。畢竟 “ 經(jīng)師 易得，人師難求 ” ，希望借此機(jī)會(huì)向 呂 老師表示最衷心的感謝！ 此外，本文最終得以順利完成，也是與 學(xué) 院其他老師的幫助分不開(kāi)的，雖然他們沒(méi)有直接參與我的論文指導(dǎo)，但在開(kāi)題時(shí)也給我提供了不少的意見(jiàn)，提出了一系列可行性的建議，他們是 我的班主任劉啟玉老師，于欣老師 ，在此向他們表示深深的感謝！ 最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對(duì) 金融業(yè) 的濃厚的興趣，讓我在漫長(zhǎng)的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能夠順利的完成畢業(yè)論文提供了巨大的支持與幫