【正文】 og10(abs(MAG3)))。 subplot(2,2,4)。 grid on。但當(dāng)這個(gè)窗函數(shù)為矩形時(shí)，得到的 FIR濾波器幅頻響應(yīng)會(huì)有明顯的 Gibbs效 應(yīng)，并且任意增加窗函數(shù)的長(zhǎng)度（即 FIR濾波器的抽頭數(shù)） Gibbs效應(yīng)也不能得到改善。 頻率采樣法 頻率采樣法是從頻域出發(fā) ,根據(jù)頻域采樣定理，對(duì)給定的理想濾波器的頻率響應(yīng)()jwHe 加以等間隔的抽樣 ，得到 ()dhk： ( 2 )( ) ( ) k Njwdd wH k H e ??? k=0,1,…,N 1 () 再利用 ()dHk可求得 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()HZ及頻率響應(yīng) ()jwHe 。但對(duì)于一個(gè) 無限長(zhǎng)的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差 ,誤差的大小取決于理想頻響曲線的 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 19 頁 形狀 , 理想頻響特性變換越平緩 , 則內(nèi)插 函數(shù)值越接近理想值 ,誤差越小。 選取 w∈ [0,2π ]內(nèi) N 個(gè)采樣點(diǎn)的約束條件為： ? ( ) ( )( ) ( )H k H N km N m???? 01kN? ? ? () (1) 增大阻帶衰減三種方法： 1) 加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 3)增大 N。代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。 典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒 雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度。 約束條件 為了設(shè)計(jì)線性相位的 FIR 濾波器，采樣值 H(k)要滿足一定的約束條件。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 20 頁 設(shè)計(jì)誤差 FIR 設(shè)計(jì)步驟： 給定指標(biāo) θk,Hk → H(k) → H(e jω)或 H(z)關(guān)心的是，由上述設(shè)計(jì)過程得到的 H(ejω)與H（ k） 的逼近程度，以及 H(ejω)與 H(k)的關(guān)系。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 21 頁 令 則 所以，在每個(gè)采樣點(diǎn)上，頻響 H(ejω ) 嚴(yán)格地與理想特性 H(k)一致，在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差?。环粗?，誤差大，在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。 圖 頻率采樣的響應(yīng) 最優(yōu)化設(shè)計(jì) 最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來設(shè)計(jì)的方法。實(shí)際設(shè)計(jì)中 ,只有采用窗函數(shù)法 中的矩形窗 才能滿足前一種最優(yōu)化準(zhǔn)則 ,但由于吉布斯 (Gibbs )效應(yīng)的存在，使其根本不能滿足設(shè)計(jì)的要求。因此 ,要完成 FIR DF 的最優(yōu)化設(shè)計(jì) ,只能采用后一種優(yōu)化準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)。 說到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問題 ，對(duì) “好 ”“壞 ”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論，我們前面講過的窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性，如果反過來要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念，最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，所以一般需要依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。 1) 均方誤差最小化準(zhǔn)則 若以 E(ejω )表示逼近誤差，則 () 那么均方誤差為 () 均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均方誤差，這一方法注重的是在整個(gè)π～ π 頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點(diǎn)的性能，有些頻率點(diǎn)可能會(huì)有較大的誤差，對(duì)于窗口法 FIR 濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的 h(n)逼近理想的 hd(n)，所以其逼近誤差為： () 如果采用矩形窗 () 則有 () 2) 最大誤差最小化準(zhǔn)則（也叫最佳一致逼近準(zhǔn)則） () )()( ??? jjdj eHeHeE ??）（? ? ? ? ? ??? ?? ??? ?? ??? ?? ????? deEdeHeH jjjd 222 2 12 1????? ?? n d nhnh 22 )()(???? ???? 其它0 1)()( Nnonhnh d? ????? ?? ???? 1 222 |)()(||)()(|n Nn dd nhnhnhnh?m a x | ( ) | m injE e F? ??? 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 23 頁 其中 F 是根據(jù)要求預(yù)先給定的一個(gè)頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。 優(yōu)點(diǎn)：可保證局部頻率點(diǎn)的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標(biāo)下，可用最少的階數(shù)達(dá)到最佳化。但它只是通過改變過渡帶的一個(gè)或幾個(gè)采樣值來調(diào)整濾波器特性。可以證明，這是一個(gè)最小均方誤差。 等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則 在濾波器的設(shè)計(jì)中 ,通常情況下通帶和阻帶的誤差要求是不一樣的。 盡管窗函數(shù)法與頻率采樣法在 FIR 數(shù)濾波器的設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用 , 但兩者不是最優(yōu)化的設(shè)計(jì) 。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù) ,實(shí)現(xiàn)在不同頻段 (通常指的是通帶和阻帶 ) 的加權(quán)誤差最大值相同 ,從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條件下達(dá)到最小值，即使得 ()jwdHe 和 ()jwHe 之間的最大絕對(duì)誤差最小。 盡管按照 FIR 數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng) h(n)的對(duì)稱性和 N 的奇、偶性， FIR 數(shù)字 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 24 頁 濾波器可以分為 4 種類型，但濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成統(tǒng)一的形式： ( 1 ) 22()( ) ( )j N wjw jkH e e e H w???? () 其中， k∈ {0 ,1} , H (ω )為幅度函數(shù)，且是一個(gè)純實(shí)數(shù)，表達(dá)式也可以寫成統(tǒng)一的形式： ( ) ( ) ( )jwdH e Q P??? () 其中， ()Q? 為ω的固定函數(shù)， ()P? 為 M 個(gè)余弦函數(shù)的線性組合。在此先介紹這兩個(gè)函數(shù) : (1) n ,fo ,ao ,weights =remezordf ,a ,dev 功能 :利用 remezord 函數(shù)可以通過估算得到濾波器的近似階數(shù) n ,歸一化頻率帶邊界 fo ,頻帶內(nèi)幅值 ao 及各個(gè)頻帶內(nèi)的加權(quán)系數(shù) weights。 (2) h =remez(n ,fo ,ao ,weights?, ftype?) 功能 :利用 remez 函數(shù)可以得到最優(yōu)化設(shè)計(jì)的 FIR DF 的 ()hn 系數(shù) ,輸入?yún)?shù) n 是濾波器的階數(shù) ,fo ,ao ,weights 參數(shù)含義說明同 (1)。實(shí)際設(shè)計(jì)中 ,由于 remezord 函數(shù)可跑高估或低估濾波器的階數(shù) n ,因此在得到濾波器的系數(shù)后 ,必須檢查其阻帶最小衰減是否滿足設(shè)計(jì)要求。故等波紋切比雪夫逼近法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的步驟是： ①給出所需的頻率響應(yīng) ()jwdHe ，加權(quán)函數(shù) ()jwWe 和濾波器的單位取樣響應(yīng) ()hn 的長(zhǎng)度 N。 ③根據(jù) Remez 算法 ,求解逼近問題。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 25 頁 5 結(jié)果分析 窗函數(shù)法仿真結(jié)果 采用特殊的窗函數(shù)如 Hamming 窗，可以減小 Gibbs 效應(yīng)，但同時(shí)也會(huì)使濾波器的過度帶變寬。 以上兩點(diǎn)是就是窗函數(shù)直接截?cái)?Hd(n)引起的截?cái)嘈?yīng)在頻域的反映 , 截?cái)嘈?yīng)直接影響濾波器的性能 , 因?yàn)橥◣?nèi)的波動(dòng)會(huì)影響濾波器痛帶中的平穩(wěn)性 , 阻帶內(nèi)的波動(dòng)則影響阻帶最小衰減 ,因此 ,減少截?cái)嘈?yīng)也是 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一。 從圖 減指標(biāo)有了明顯的改善 !但這同時(shí)增加了濾波器的過渡帶寬 。 因頻率取樣點(diǎn)都局限在 2π /N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。 頻率采樣法偏離設(shè)計(jì)指標(biāo)明顯，阻帶衰減 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 26 頁 最小，只有適當(dāng)選取過渡帶樣點(diǎn)值，才會(huì)取得較好的衰耗特性。這在程序中很容易實(shí)現(xiàn) ,只需對(duì)參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)定 ,就可以得到新條件下濾波器的特性。這樣使得設(shè)計(jì)出來的濾波器更為簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)。 在實(shí)際應(yīng)用中 ,如果需要對(duì)某一信號(hào)源進(jìn)行特定的濾波 ,并要檢驗(yàn)濾波效果 ,應(yīng)用傳統(tǒng)方法實(shí)施起來比較繁瑣。 圖 濾波器輸出的幅頻及相頻響應(yīng)特性 同樣是設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 低通數(shù)字濾波器， 綜合分析 可以看出： (1) 窗函數(shù)法在階數(shù)較低時(shí)，阻帶特性不滿足設(shè)計(jì)要求，只有當(dāng)濾波器階數(shù)較高時(shí)，使用海明窗和凱塞窗基本可以達(dá)到阻帶衰耗要求； (2) 頻率采樣法偏離設(shè)計(jì)指標(biāo)最明顯，阻帶衰減最小，而且設(shè)計(jì)比采用窗函數(shù)法復(fù)雜。 綜上所述， FIR 濾波器很容易實(shí)現(xiàn)具有嚴(yán)格線性相位的系統(tǒng) , 使信號(hào)經(jīng)過處理后不產(chǎn)生相位失真 ,舍入誤差小 ,而且穩(wěn)定，因此越來越受到廣泛的重視。 東北大學(xué)秦皇島分校畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 29 頁 結(jié) 論 本文通過一個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例，介紹了利用 MATLAB 實(shí)現(xiàn) FIR 濾波器設(shè)計(jì)與濾波的三種方法，從仿真結(jié)果可以看出它們均可以達(dá)到技術(shù)指標(biāo)要求，而且方法簡(jiǎn)單、快捷，大大減輕了工作量。由于 MATLAB 具有強(qiáng)大的接口功能，仿真后的結(jié)果可以很方便的移植到 DSP、 CPLD 或 FPGA 等器件中。 w1=boxcar(61)。 hd=sin(passrad*(n31))./(pi*(n31))。 h1=hd.*rot90(w1)。 [mag1,rad]=freqz(h1)。 subplot(2,2,1)。 grid on。designed by Rectangular window39。 subplot(2,2,2)。 grid on。designed by Hamming window39。 [h1,w1]=freqz(h1,1,100,2)。 plot(w1,unwrap(angle(h1)))。 [h2,w2]=freqz(h2,1,100,2)。 plot(w2,unwrap(angle(h2)))。 頻率采樣法實(shí)現(xiàn)程序： f=[ ]。 dev=[ ]。 N=n。 k=0:N1。 ws=*pi。 m=fix(wc*N/(2*pi)+1)。 Hrs=[ones(1,m),T,zeros(1,N2*m1),T,ones(1,m1)]。 k2 = floor(alpha+1):N1。 H =Hrs.*exp(j*phai)。 [h1,w1] = freqz(h,1,256,1)。 h1 = 20* log10(hr)。 k=0:N1。k.39。 xlabel(39。)。h(n)39。 grid on。 plot(w1,h1)。Normalized39。)。Magnitude(dB)39。 grid on。 %采樣頻率 rp =3。 %阻帶波紋 f = [500 600]。 %期望的幅度 dev= [(10^(rp/20) 1)/ (10^(rp/20) + 1) 10^( rs/20) ]。 b = remez(n ,fo ,ao ,w) 。