湖南師大附中20xx屆高三高考模擬卷一教師版數(shù)學(xué)理word版含解析-閱讀頁(yè)
2024-12-16 21:47本頁(yè)面
【正文】 合 ， 求證：－ 1a34. 【解析】 (Ⅰ )h(x)＝ ex(－ x2＋ 2x＋ a)， 則 h′(x)＝－ ex[x2－ (a＋ 2)]， (2分 ) 當(dāng) a＋ 2≤ 0即 a≤ － 2時(shí) ， h′ (x)≤ 0， h(x)在 R上單調(diào)遞減； (3分 ) 當(dāng) a＋ 20即 a－ 2時(shí) ， h′ (x)＝－ ex[x2－ (a＋ 2)]＝－ ex(x＋ a＋ 2)(x－ a＋ 2)， 此時(shí) h(x)在 (－ ∞ ， － a＋ 2)及 ( a＋ 2， ＋ ∞ )上都是單調(diào)遞減的 ， 在 (－ a＋ 2， a＋ 2) 上是單調(diào)遞增的 ． (5分 ) (Ⅱ )(ⅰ )g′(x)＝－ 2x＋ 2， 據(jù)題意有 (－ 2x1＋ 2)(－ 2x2＋ 2)＝－ 1， 又 0x1x2， 法 1：則－ 2x1＋ 20且－ 2x2＋ 20， (－ 2x1＋ 2)(2x2－ 2)＝ 1， 故 x2－ x1＝ 12[(－ 2x1＋ 2)＋ (2x2－ 2)]≥ （－ 2x1＋ 2） 14（ 1－ x1）＝ 1， (當(dāng)且僅當(dāng) 1－ x1＝ 14（ 1－ x1）x1＝ 12時(shí)取等號(hào) )． 即 x2－ x1的最小值為 1.(8分 ) (ⅱ )證明：因?yàn)?φ(x)在點(diǎn) A， B處的切線重合 ， 則 φ(x)在點(diǎn) A， B處的切線的斜率相等 ， 而 x0時(shí) ， φ′ (x)＝ f′(x)＝ ex∈ (0， 1)， 則必有 x10x21， 即 A(x1， ex1)， B(x2， － x22＋ 2x2＋ a)， A處的切線方程是： y－ ex1＝ ex1(x－ x1) y＝ ex1x＋ ex1(1－ x1)， B處的切線方程是： y－ (－ x22＋ 2x2＋ a)＝ (－ 2x2＋ 2)(x－ x2)， 即 y＝ (－ 2x2＋ 2)x＋ x22＋ a， (10分 ) 據(jù)題意則?????ex1＝－ 2x2＋ 2，ex1（ 1－ x1）＝ x22＋ a 4a＋ 4＝－ ex1(ex1＋ 4x1－ 8)， x1∈ (－ ∞ ， 0)， 設(shè) p(x)＝－ ex(ex＋ 4x－ 8)， x0， p′ (x)＝－ 2ex(ex＋ 2x－ 2)， 設(shè) q(x)＝ ex＋ 2x－ 2， x0 q′ (x)＝ ex＋ 20在 (－ ∞ ， 0)上恒成立 ， 則 q(x)在 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)遞增 q(x)q(0)＝－ 10， 則 p′(x)＝－ 2ex(ex＋ 2x－ 2)0， p(x)在 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)遞增 ， 則 p(x)p(0)＝ 7， 再設(shè) r(x)＝ ex＋ 4x－ 8， x0， r′ (x)＝ ex＋ 40， r(x)在 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)遞增 ， r(x)r(0)＝－ 70， 則 p(x)＝－ ex(ex＋ 4x－ 8)0在 (－ ∞ ， 0)恒成立 ， 即當(dāng) x∈ (－ ∞ ， 0)時(shí) 0p(x) 04a＋ 47即－ 1a34.(12 分 ) 請(qǐng)考生在第 (22)、 (23)兩題中任選一題作答 ， 如果多做 ， 則按所做的第一題計(jì)分 ． (22)(本小題滿(mǎn)分 10分 )選修 4－ 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線 C 的參數(shù)方程為?????x＝－ 1＋ 2cos θ ，y＝ 1＋ 2sin θ (θ為參數(shù) )． 以原點(diǎn) O 為極點(diǎn) ， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 ． (Ⅰ )求曲線 C 的極坐標(biāo)方程； (Ⅱ )若直線 l： θ＝ α(α∈ [0, π ), ρ ∈ R)與曲線 C 相交于 A、 B兩點(diǎn) ， 設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為M， 求 |OM|的最大值 ． 【解析】 (Ⅰ )曲線 C的普通方程為 (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 22， 由 ???x＝ ρcos θ ，y＝ ρsin θ ， 得 ρ2＋ 2ρcos θ－ 2ρsin θ－ 2＝ 0.(5分 ) (Ⅱ )聯(lián)立 θ＝ α和 ρ2＋ 2ρcos θ－ 2ρsin θ－ 2＝ 0， 得 ρ2＋ 2ρ(cos α－ sin α )－ 2＝ 0, 設(shè) A(ρ1, α )， B(ρ2, α )， 則 ρ1＋ ρ2＝ 2(sin α－ cos α )＝ 2 2sin?? ??α－ π4 ， 由 |OM|＝ ?? ??ρ1＋ ρ22 ， 得 |OM|＝ 2?? ??sin?? ??α－ π 4 ≤ 2， 當(dāng) α＝ 3π4 時(shí) ， |OM|取最大值 2.(10分 ) (23)(本小題滿(mǎn)分 10分 )選修 4－ 5: 不等式選講 設(shè)函數(shù) f(x)＝ a(x－ 1)． (Ⅰ )當(dāng) a＝ 1 時(shí) ， 解不等式 |f(x)|＋ |f(－ x)|≥ 3x； (Ⅱ )設(shè) |a|≤ 1， 當(dāng) |x|≤ 1 時(shí) ， 求證： |f(x2)＋ x|≤ 54. 【解析】 (Ⅰ )當(dāng) a＝ 1時(shí) ， 不等式 |f(x)|＋ |f(－ x)|≥ 3x即 |x－ 1|＋ |x＋ 1|≥ 3x. 當(dāng) x≤ － 1時(shí) ， 得 1－ x－ x－ 1≥ 3x x≤ 0， ∴ x≤ － 1； 當(dāng)－ 1x1時(shí) ， 得 1－ x＋ x＋ 1≥ 3x x≤ 23， ∴ － 1x≤ 23； 當(dāng) x≥ 1時(shí) ， 得 x－ 1＋ x＋ 1≥ 3x x≤ 0， 與 x≥ 1矛盾 ， 綜上得原不等式的解集為 {x|x≤ － 1}∪ ??? ???x|－ 1x≤ 23 ＝ ??? ???x|x≤ 23 .(5分 ) (Ⅱ )|f(x2)＋ x|＝ |a(x2－ 1)＋ x|≤ |a(x2－ 1)|＋ |x|， ∵ |a|≤ 1， |x|≤ 1， ∴ |f(x2)＋ x|≤ |a|(1－ x2)＋ |x|≤ 1－ x2＋ |x|＝－ |x|2＋ |x|＋ 1＝－ ?? ??|x|－ 122＋ 54≤ 54. 當(dāng) |x|＝ 12時(shí)取 “ ＝ ” ， 得證 ． (10分 )
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