高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第三章22拋物線的簡單性質(zhì)-閱讀頁
2024-12-07 23:19本頁面
【正文】 點(diǎn)在 x軸的負(fù)半軸上時(shí)， 設(shè)方程為 y2＝－ 2px(p0)． 由對(duì)稱性知拋物線方程為 y2＝－ 8x， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (－ 2,0)，準(zhǔn)線方程為 x＝ 2. [例 2] 若動(dòng)點(diǎn) M到點(diǎn) F(4,0)的距離比它到直線 x＋ 5＝ 0的距離小 1，求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥 ] “點(diǎn) M與點(diǎn) F的距離比它到直線 l： x＋ 5＝ 0的距離小 1”，就是 “點(diǎn) M與點(diǎn) F的距離等于它到直線 x＋ 4＝ 0的距離 ”，由此可知點(diǎn) M的軌跡是以 F為焦點(diǎn)，直線 x＋ 4＝ 0為準(zhǔn)線的拋物線． [ 精解詳析 ] 如圖，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為( x ， y ) ． 由已知條件可知，點(diǎn) M 與點(diǎn) F 的距離等于它到直線 x ＋ 4 ＝ 0 的距離． 根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn) M 的軌跡是以F (4,0) 為焦點(diǎn)的拋物線，且p2＝ 4 ，即 p ＝ 8. 因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x 軸的正半軸上，所以點(diǎn)M 的軌跡方程為： y2＝ 16 x . [ 一點(diǎn)通 ] 由于拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相等，所以常把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．即：若 p ( x 0 ， y 0 ) 是拋物線 y2＝ 2 px 上任意一點(diǎn)，則 p 到焦點(diǎn) F 的距離為 | PF |＝ x 0 ＋p2( 稱為焦半徑 ) ． 4．平面上點(diǎn) P到定點(diǎn) (0，－ 1)的距離比它到 y＝ 2的距離小 1， 則點(diǎn) P軌跡方程為 ________． 解析： 由題意，即點(diǎn) P到 (0，－ 1)距離與它到 y＝ 1距離相等，即點(diǎn) P是以 (0，－ 1)為焦點(diǎn)的拋物線，方程為 x2＝－ 4y. 答案： x2＝－ 4y 解： 將 x ＝ 3 代入拋物線方程 y2＝ 2 x ，得 y ＝ 177。x 2 ＝ p24 ， y 1 y 2 ＝－ p2 . 6．過拋物線 y2＝ 4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A(x1， y1)B(x2， y2)兩點(diǎn)，若 x1＋ x2＝ 6，則 |AB|的值為 ( ) A． 10 B． 8 C． 6 D． 4 解析： ∵ y2＝ 4x， ∴ 2p＝ 4， p＝ 2. ∴ 由拋物線定義知： |AF|＝ x1＋ 1， |BF|＝ x2＋ 1， ∴ |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ x1＋ x2＋ 2＝ 6＋ 2＝ 8. 答案： B 7． (202
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